Flusso attraverso cono, paraboloide e piano
Ciao a tutti! Il mio esercizio chiede di calcolare il flusso del campo vetttoriale $ F=(x;y;z*sqrt((x-2)^2+(y-2)^2)) $ attraverso $ V={(x;y;z)inR^2 : z>=sqrt((x-2)^2+(y-2)^2); z>=-(x-2)^2-(y-2)^2+6; z<=6 } $.
È consigliato lo svolgimento tramite il teorema della divergenza.
Ho individuato un cono circolare retto con vertice in $(2,2,0)$, un paraboloide circolare con vertice in $(2,2,6)$ e il piano $z=6$.
Una volta calcolata la divergenza $ div(F)=2+sqrt((x-2)^2+(y-2)^2) $, non so proprio come continuare per impostare l'integrale $ \int\int\int_V div(F)dxdydz $.
Ho pensato di spezzare il calcolo in cono-piano e paraboloide-piano utilizzando la parametrizzazione $ {x=2+\rho*cos(theta); y=2+\rho*sin(theta); z=z} $.
Mi potreste dare una mano?
È consigliato lo svolgimento tramite il teorema della divergenza.
Ho individuato un cono circolare retto con vertice in $(2,2,0)$, un paraboloide circolare con vertice in $(2,2,6)$ e il piano $z=6$.
Una volta calcolata la divergenza $ div(F)=2+sqrt((x-2)^2+(y-2)^2) $, non so proprio come continuare per impostare l'integrale $ \int\int\int_V div(F)dxdydz $.
Ho pensato di spezzare il calcolo in cono-piano e paraboloide-piano utilizzando la parametrizzazione $ {x=2+\rho*cos(theta); y=2+\rho*sin(theta); z=z} $.
Mi potreste dare una mano?
Risposte
Hai praticamente finito. Se scrivi le condizioni in coordinate cilindriche, avrai
$$z\le\rho,\quad z\ge 6-\rho^2,\quad z\le 6$$
Per prima cosa, osservando che non c'è dipendenza da $\theta$, puoi concludere che $0\le\theta\le2\pi$. Se ora disegni le curve $z=\rho,\ z=6-\rho^2,\ z=6$ nel piano $\rho O z$ (sono rispettivamente la bisettrice del primo e terzo quadrante, la parabola con asse coincidente con l'asse $z$ e vertice in $(0,6)$, rivolta verso il basso e la retta parallela all'asse $\rho$ di equazione $z=6$ - ma ricorda anche di considerare solo il primo e quarto quadrante, visto che per definizione $\rho\ge 0$) ti renderai conto che il dominio di integrazione è dato dal "triangolo curvilineo" nel primo quadrante delimitato da queste curve ed esterno alla parabola. Calcolando il punto di intersezione $C(2,2)$ tra la parabola e la bisettrice, ti renderai conto che il dominio di integrazione si può scrivere come
$$0\le\theta\le2\pi,\qquad 2\le z\le 6,\qquad \sqrt{6-z}\le\rho\le z$$
oppure dall'unione dei due domini
$$0\le\theta\le 2\pi,\quad 0\le\rho\le 2,\quad 6-\rho^2\le z\le 6,\qquad 0\le\theta\le 2\pi,\quad 2\le\rho\le 6,\quad \rho\le z\le 6$$
Ovviamente la divergenza assume la forma $2+\rho$ e ricorda che, nel cambio di coordinate, devi usare lo Jacobiano $J=\rho$.
$$z\le\rho,\quad z\ge 6-\rho^2,\quad z\le 6$$
Per prima cosa, osservando che non c'è dipendenza da $\theta$, puoi concludere che $0\le\theta\le2\pi$. Se ora disegni le curve $z=\rho,\ z=6-\rho^2,\ z=6$ nel piano $\rho O z$ (sono rispettivamente la bisettrice del primo e terzo quadrante, la parabola con asse coincidente con l'asse $z$ e vertice in $(0,6)$, rivolta verso il basso e la retta parallela all'asse $\rho$ di equazione $z=6$ - ma ricorda anche di considerare solo il primo e quarto quadrante, visto che per definizione $\rho\ge 0$) ti renderai conto che il dominio di integrazione è dato dal "triangolo curvilineo" nel primo quadrante delimitato da queste curve ed esterno alla parabola. Calcolando il punto di intersezione $C(2,2)$ tra la parabola e la bisettrice, ti renderai conto che il dominio di integrazione si può scrivere come
$$0\le\theta\le2\pi,\qquad 2\le z\le 6,\qquad \sqrt{6-z}\le\rho\le z$$
oppure dall'unione dei due domini
$$0\le\theta\le 2\pi,\quad 0\le\rho\le 2,\quad 6-\rho^2\le z\le 6,\qquad 0\le\theta\le 2\pi,\quad 2\le\rho\le 6,\quad \rho\le z\le 6$$
Ovviamente la divergenza assume la forma $2+\rho$ e ricorda che, nel cambio di coordinate, devi usare lo Jacobiano $J=\rho$.
Ok, grazie! Mi è tutto chiaro!
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