Flusso

[sici_90]

salve ragazzi,
avrei bisogno di una mano per il seguente esercizio:
calcolare il flusso del camp vettoriale F=(0,0,z) attraverso la calotta sferica S
$z=\sqrt(1-x^2-y^2)$ ;
al variare di (x,y) nel cerchio C con centro nell'origine e raggio 1 .
si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente non negativa.

allora io procederei in questo modo:
Parametrizziamo la calotta sferica dunque:
$ x=sen\(theta)cos\(phi)$ con $0\leq\theta\leq\pi $ e $ 0\leq \phi \leq \2pi $
$ y=sen\theta sen\phi $
$z=cos\theta$

proseguo con il calcolo dei minori della matrice:

$ A= (dy/(d\theta)*dz/(d\phi))*[-(dy/(d\phi)*dz/(d\theta))]= sen^2\theta cos\phi $
$ B=-{(dx/(d\theta)*dz/(d\phi))*[-(dx/(d\phi)*dz/(d\theta))]}= sen^2\thetasen\phi $
$ C=(dx/(d\theta)*dy/(d\phi))*[-(dx/(d\phi)*dy/(d\theta)]=2cos\thetasen\thetacos^2\phi $

la terza componente del versore normale è: $ (2cos\thetasen\thetacos^2\phi)/ [(sen^2\theta cos\phi)^2+(sen^2\thetasen\phi)^2+(2cos\thetasen\thetacos^2\phi)^2] $

ora procedo con il calcolo dell'integrale
$\int\int (cos\theta)(2cos\thetasen\thetacos^2\phi)d\theta d\phi $ con $0\leq\theta\leq\pi$ e $0\leq\phi\leq\2\pi $

ora sono sono quasi sicuro che ci sono errori e vorrei sapere dove!
ma la cosa piu importante è che vorrei sapere come soddisfare tale richiesta : orientare S in modo tale che la terza componente sia non negativa.
Grazie a tutti!

[Quinzio]

Aspetta, ferma tutto.

Esiste questa simpatica versione per gli integrali di flusso.

$F=\int_(\Sigma=C)(\bb F \cdot \bbn)/(\bbk \cdot \bb n)d\sigma$

nel nostro caso $\bbn$ è particolarmente semplice: $\bb n = (x,y,z)$, quindi

$F=\int_(\Sigma=C)((0,0,z) \cdot (x,y,z))/((0,0,1) \cdot (x,y,z))d\sigma=\int_(\Sigma=C)\ z\ d\sigma$

$\Sigma$ la parametrizziamo in coordinate polari

$F=\int_0^(2\pi)\int_0^1\rho\sqrt(1-\rho^2)\ d\rho\ d\theta=2/3 \pi$

[sici_90]

Ok Grazie mille!
Ma , perdonami, il mio procedimento è sbagliato?
e poi per la questione della terza componente positiva?