Flessi nello studio di funzione
ciao tutti
oggi come esercizio di matematica x l'esame ho fatto lo studio di questa funzione
\( y=\sqrt[2]{\frac{x+2}{3-x}} \)
sembrava tutto molto semplice fino a quando son arrivato alle derivate
la \( y'={\frac{5}{2(x+2)^2\sqrt[2]{\frac{x+2}{3-x}}}} \)
l'ho controllata con un programma su internet detto questo:
1) la y' è sempre maggiore di zero e non si annulla per nessun termine quindi xk in -2 c'è un minimo
2)siccome e presente un flesso (guardando il risultato è in ( \( {-\frac{3}{4}} \ \) ; \( {\frac{\surd 3}{3}} \) ) esiste un modo per calcolarlo senza eseguire la derivata seconda
grazie di cuore a chi risponde
oggi come esercizio di matematica x l'esame ho fatto lo studio di questa funzione
\( y=\sqrt[2]{\frac{x+2}{3-x}} \)
sembrava tutto molto semplice fino a quando son arrivato alle derivate
la \( y'={\frac{5}{2(x+2)^2\sqrt[2]{\frac{x+2}{3-x}}}} \)
l'ho controllata con un programma su internet detto questo:
1) la y' è sempre maggiore di zero e non si annulla per nessun termine quindi xk in -2 c'è un minimo
2)siccome e presente un flesso (guardando il risultato è in ( \( {-\frac{3}{4}} \ \) ; \( {\frac{\surd 3}{3}} \) ) esiste un modo per calcolarlo senza eseguire la derivata seconda
grazie di cuore a chi risponde
Risposte
ciao Jolly
Allora anzitutto la tua derivata mi sembra sbagliata anche se l'hai controllata su internet... forse hai solo sbagliato a scrivere... sarebbe
$y'= 5/2 1/(3-x)^2 1/sqrt((x+2)/(3-x))$
La cosa principale da fare prima era determinare il campo di esistenza della funzione. Lo hai fatto? Deve essere $-2<=x<3$
Quindi il punto $x=-2$ è compreso nel campo di esistenza. La funzione in $x=-2$ è definita e vale $y=0$
Fin qui tutto ok?
Adesso guarda la derivata. Sempre positiva quindi funzione sempre crescente, ok. MA... nel punto $x=-2$ non è definita!! Non esiste... perchè annullerebbe il denominatore della derivata.
Quello che devi fare allora, siccome hai un punto di NON derivabilità (con le radici succede spesso) è studiare il limite
$lim_(x->-2^+) y'$
vedrai che va ad infinito... allora ne concludi che in $x=-2$ la funzione ha un punto (di non derivabilità) a tangente verticale. E' un pezzo di quello che a volte viene chiamato cuspide. Non interessarti a come chiamarlo. E' un punto a tangente verticale, per il disegno è molto importante saperlo. E' anche un minimo "relativo" nel senso che è il punto di minimo valore per la tua funzione. Non è un minimo come sei solito vedere, quello che annulla la derivata prima per intenderci... la derivata NON si annulla... ma il valore più piccolo della funzione ce l'hai li... è una cosa che di solito non si dice nemmeno, non so perchè il tuo libro lo faccia.
Per quanto riguarda i flessi non ci sono altre strade... derivata seconda
Magari, per rendere più facile il calcolo, proviamo a scrivere la derivata prima così
$y'=5/2 (x+2)^(-1/2) (3-x)^(-3/2)$
e la pensi come derivata di un prodotto... certo è dura, il calcolo è molto lungo... confermo che viene il flesso da te trovato con internet... che devo dirti? di solito per calcoli grossi gli esercizi dicono testualmente di lasciar perdere lo studio della derivata seconda... se il tuo non lo fa devi tirarti su le maniche e andare di calcolo
Il risultato dovrebbe essere
$y''=-(5 (-4 x-3))/(4 ((-x-2)/(x-3))^(3/2) (x-3)^4)$
ciao
Allora anzitutto la tua derivata mi sembra sbagliata anche se l'hai controllata su internet... forse hai solo sbagliato a scrivere... sarebbe
$y'= 5/2 1/(3-x)^2 1/sqrt((x+2)/(3-x))$
La cosa principale da fare prima era determinare il campo di esistenza della funzione. Lo hai fatto? Deve essere $-2<=x<3$
Quindi il punto $x=-2$ è compreso nel campo di esistenza. La funzione in $x=-2$ è definita e vale $y=0$
Fin qui tutto ok?
Adesso guarda la derivata. Sempre positiva quindi funzione sempre crescente, ok. MA... nel punto $x=-2$ non è definita!! Non esiste... perchè annullerebbe il denominatore della derivata.
Quello che devi fare allora, siccome hai un punto di NON derivabilità (con le radici succede spesso) è studiare il limite
$lim_(x->-2^+) y'$
vedrai che va ad infinito... allora ne concludi che in $x=-2$ la funzione ha un punto (di non derivabilità) a tangente verticale. E' un pezzo di quello che a volte viene chiamato cuspide. Non interessarti a come chiamarlo. E' un punto a tangente verticale, per il disegno è molto importante saperlo. E' anche un minimo "relativo" nel senso che è il punto di minimo valore per la tua funzione. Non è un minimo come sei solito vedere, quello che annulla la derivata prima per intenderci... la derivata NON si annulla... ma il valore più piccolo della funzione ce l'hai li... è una cosa che di solito non si dice nemmeno, non so perchè il tuo libro lo faccia.
Per quanto riguarda i flessi non ci sono altre strade... derivata seconda
Magari, per rendere più facile il calcolo, proviamo a scrivere la derivata prima così$y'=5/2 (x+2)^(-1/2) (3-x)^(-3/2)$
e la pensi come derivata di un prodotto... certo è dura, il calcolo è molto lungo... confermo che viene il flesso da te trovato con internet... che devo dirti? di solito per calcoli grossi gli esercizi dicono testualmente di lasciar perdere lo studio della derivata seconda... se il tuo non lo fa devi tirarti su le maniche e andare di calcolo
Il risultato dovrebbe essere
$y''=-(5 (-4 x-3))/(4 ((-x-2)/(x-3))^(3/2) (x-3)^4)$
ciao
sei un mito grz mille
è vero la derivata ho sbagliato a scriverla grz per il chiarimento sui minimi relativi
speravo ci fosse un altro metodo per calcolare flessi e concavità xk la y'' e un po' rognosa
comunque grz ancora
è vero la derivata ho sbagliato a scriverla grz per il chiarimento sui minimi relativi
speravo ci fosse un altro metodo per calcolare flessi e concavità xk la y'' e un po' rognosa
comunque grz ancora
scusa ancora una cosa ma c'è un modo di capire se dei punti di flesso sono presenti nel grafico come in questo caso in modo da non calcolare la derivata seconda se non sono presenti?
A occhio si potrebbe dire che siccome la funzione "parte" a tangente verticale e cresce verso destra allora avrà la concavità verso il basso. Siccome ha poi un asintoto verticale a più infinito la concavità sarà verso l'alto. Quindi, essendo continua, c'è un numero dispari di flessi. Ma sono considerazioni alla buona. Meglio una bella derivata seconda 
Sono d accordo con bremen000
Fai delle considerazioni a occhio e vedi se e possibile o no la presenza del flesso. La sicurezza pero te la dà il calcolo della y''
Fai delle considerazioni a occhio e vedi se e possibile o no la presenza del flesso. La sicurezza pero te la dà il calcolo della y''
grz mille a tutti per le risposte
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo