\(f\in L_2(X'\times X''),\varphi_m\in L_2(X')\) e \(\int f\cdot\bar{\varphi_m} d\mu'\in L_2(X'')\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Sia \(X:=X'\times X''\) il prodotto degli spazi di misura \((X',\mu')\) e \((X',\mu'')\), dotato dell'estensione di Lebesgue \(\mu:=\mu'\otimes\mu''\) della misura prodotto \(\mu'\times \mu''\) definita da \((\mu'\times \mu'')(A\times B)=\mu'(A)\mu''(B)\).

Siano $\{\varphi_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ un sistema ortogonale completo di \(L_2(X',\mu')\), $\{\psi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ un sistema ortogonale completo di \(L_2(X'',\mu'')\) e \(f\in L_2(X,\mu)\) una funzione, che si suppone ortogonale al sistema ortogonale (la cui ortogonalità si verifica facilmente grazie al teorema di Fubini) \(\{\varphi_m\cdot\psi_n\}_{(m,n)\in\mathbb{N}^2}\) (dove $\cdot$ significa che \((\varphi_m\cdot\psi_n)(x',x'')=\varphi_m(x')\psi_n(x'')\)).

Leggo sul Kolmogorov-Fomin (p. 391 qui) che si vede facilmente che la funzione definita da \[F_m(x'')=\int_{X'}f(x',x'')\overline{\varphi_m(x')}d\mu'\] appartiene \(L_2(X'',\mu'')\).

Qualcuno sarebbe così buono da darmi una mano a vedere questa facile cosa?
Grazie di cuore a tutti!!!

Edit: aggiunto un \('\) ad un $x$.

[dissonance]

Una maniera usa la disuguaglianza di Minkowski per gli integrali seguita dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
\[
\left\| \int f(x', x'')\phi(x')\, dx'\right\|_{L^2(dx'')}\le \int\|f(x', x'')\|_{L^2(dx'')} \lvert \phi(x')\rvert\, dx'\le \sqrt{ \int \|f(x', x'')\|_{L^2(dx'')}^2\, dx'} \|\phi\|_{L^2}<\infty.\]

[DavideGenova1]

Abbi pazienza, non capisco...
Cauchy-Schwarz: \(\forall g,h\in L_2(X,\mu) \quad |\int_X g\bar{h}d\mu|\leq\sqrt{\int_X|g|^2d\mu} \sqrt{\int_X|h|^2d\mu}\). Per disuguaglianza di Minkowski intendi \(\forall \psi,\chi\in L_p(X,\mu)\) \((\int_X|\psi+\chi|^p d\mu)^{1/p}\leq (\int_X|\psi|^p d\mu)^{1/p}+(\int_X|\chi|^p d\mu)^{1/p}\)? o, con \(p^{-1}+q^{-1}=1\), \(\forall \psi\in L_p(X,\mu),\chi\in L_q(X,\mu)\) \(\int_X |\psi\chi| d\mu\leq(\int_X|\psi|^p d\mu)^{1/p}(\int_X|\chi|^qd\mu)^{1/q}\)?

Non mi è neanche chiaro perché \(\|f(x',x'')\|_{L_2(dx')}\) è integrabile su \(X''\) (\(\|f(x',x'')\|^2_{L_2(dx')}\) invece capisco che lo è grazie al teorema di Fubini)...
$\infty$ grazie ancora!!!

[dissonance]

No, per disuguaglianza di Minkowski intendo
\[
\left\|\int f(x, y)\, dy\right\|_{L^p(dx)}\le \int \|f(x, y)\|_{L^p(dx)}\, dy.\]
E' una versione \(L^p\) della disuguaglianza
\[
\left|\int f(x)\, dx\right|\le \int \lvert f(x)\rvert\, dx.\]
Intuitivamente è una cosa chiara, ma la dimostrazione formale non è proprio ovvia. Ma si tratta di qualcosa di "safe" da usare anche senza conoscere la dimostrazione.

P.S.: In effetti questa disuguaglianza di Minkowski è esattamente la generalizzazione di quella da te citata, dove le somme finite sono sostituite da integrali. Si capisce quindi che deve essere vera

[DavideGenova1]

Nell'espressione \[ \int\|f(x', x'')\|_{L^2(dx')}\, dx'' \lvert \phi(x')\rvert\, dx'\le \sqrt{ \int \|f(x', x'')\|_{L^2(dx'')}^2\, dx'} \|\phi\|_{L^2(dx')}\]usi la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, diciamo della forma \(|\langle v,w\rangle|\le\|v\|\|w\|\). Rozzamente parlando, suppongo che $v$ sia \(\|f(x', x'')\|_{L^2(dx'')}\) e $w$ sia \(\bar{\phi}\), da cui avrei, se sapessi che l'integrale a primo membro esiste: \[\int_{X'}\sqrt{\int_{X''}|f(x',x'')|dx''}\phi(x') dx'=|\langle v,w\rangle|\le\sqrt{ \int \|f(x', x'')\|_{L^2(dx'')}^2\, dx'} \|\phi\|_{L^2(dx')}\]ma da qui non saprei né come osservare che l'integrale \(\int_{X'}\sqrt{\int_{X''}|f(x',x'')|dx''}\phi(x') dx'\) effettivamente esiste, né come ottenere la disuguaglianza a destra dell'espressione che hai scritto...
$\infty$ grazie ancora!!!

[dissonance]

Davide, butta via quel libro (oppure regalalo a una biblioteca, se ti dispiace gettare i libri). L'integrale di una funzione non negativa esiste sempre, al massimo potrà essere \(+\infty\), e la disuguaglianza che stiamo cercando di dimostrare serve proprio ad escludere questa eventualità.

Detto questo, avevo pasticciato con i \(dx'\), vedi se ora ti convince.

[DavideGenova1]

Grazie di misura $\infty$! Gentilissimo... Adesso mi torna tutto, una volta assunta la disuguaglianza di Minkowski.
Per quanto riguarda quest'ultima, la trovo molto interessante ed ho una certa impressione, da questa dimostrazione, che è l'unica che ho trovato, che possa essere dimostrata rigorosamente in modi non del tutto a me inacessibili, sperando di non peccare di presunzione. Solo che la dimostrazione che ho linkato suppone che $F$ sia sempre non negativa, cosa che non riesco ad utilizzare senza perdere di generalità. So che $F$ può essere scritta come combinazione lineare di quattro funzioni non negative: \(F=\text{Re}F^+ -\text{Re}F^- +i(\text{Im}F^+ -\text{Im}F^- )\) e quindi il membro sinistro della disuguaglianza di Minkowski calcolato utilizzando ciascuna delle quattro funzioni maggiora \(\|\int_Y f(x,y)dy\|_{L^p(dx)} \), ma a destra non riesco proprio a vedere come non si perda di generalità.
Conosci qualche link o riferimento di bibliografia reperibile on line ( ) a dimostrazioni alternative (o saresti così buono da indicarmi perché non si perde di generalità nella dimostrazione che ho linkato)? $\aleph_1$ grazie!!!

[dissonance]

Davide, ma questo è facile:
\[
\left\|\int f(x, y)\, dy\right\|_{L^p(dx)}\le \left\|\int |f(x, y)|\, dy\right\|_{L^p(dx)}\le \int \|f(x, y)\|_{L^p(dx)}\, dy.\]
Quando hai una disuguaglianza per funzioni positive, automaticamente ne hai una per funzioni di segno qualunque passando al valore assoluto.

[DavideGenova1]

Ah, ecco... Quindi la dimostrazione che ho citato mi torna, eccetto per il fatto che suppone esistente \(\|G\|_{L^q_{(d\nu)}}\), ma non ho la minima idea del perché la funzione, che direi misurabile grazie al teorema di Fubini, \((\int_X F(x,y)d\mu(x))^p\) sia integrabile su $Y$. Se si potesse maggiorare con \(\int_X F(x,y)^p d\mu(x)\) l'appartenenza di $F$ a \(L^p(X\times Y, \mu\otimes \nu)\) e la conseguente, sempre grazie a Fubini, integrabilità di \(\int_X F(x,y)^p d\mu(x)\) su $Y$ proverebbero l'appartenenza di $G$ a \(L^q (Y,\nu)\), ma non sono affatto certo di questa maggiorazione...

[dissonance]

Assume [...] and, by approximating with simple functions if necessary, that both sides of the inequality are finite

[DavideGenova1]

Avevo notato, ma "speravo" che non fosse necessario utilizzare quell'ipotesi per il membro sinistro. Tuttavia, forse, ho una qualche idea di che cosa succede approssimando, che spero non essere del tutto sbagliata. Direi che, se le $F_n$ sono funzioni semplici che approssimano $F$ su $X\times Y$ -direi che possano infatti essere scelte tali che \(\forall (x,y)\in X\times Y \) \(0\leq F_n(x,y)\leq F(x,y)\)-, allora \[\int_X\|F(x,y)\|_{L^p(d\nu)}d\mu(x)=\int_X \Bigg(\int_Y F(x,y)^p d\nu (y)\Bigg)^{\frac{1}{p}}d\mu(x)\geq \int_X \Bigg(\int_Y F_n(x,y)^p d\nu (y)\Bigg)^{\frac{1}{p}}d\mu(x)\]e quindi, se vale la disuguaglianza di Minkowski per $F_n$ si ha comunque\[\Bigg(\int_Y\Bigg|\int_X F_n(x,y)d\mu(x)\Bigg|^p d\nu(y) \Bigg)^{\frac{1}{p}}=\Bigg\| \int_X F_n(x,y) d\mu(x) \Bigg\|_{L^p(d\nu)}\leq \int_X\|F(x,y)\|_{L^p(d\nu)}d\mu(x)\]. Spero di non aver detto cavolate troppo grosse.
In ogni caso, non credo che l'appartenenza di $F$ a \(L^p(X\times Y,\mu\otimes \nu)\) non implichi l'esistenza di alcuno dei due integrali, ma semplicemente che se il membro destro esiste finito, il primo esiste (finito): giusto? $\aleph_1$ grazie ancora!!!

[dissonance]

Secondo me si può fare anche più facile, queste sono le tipiche cose che uno non dimostra neanche. In genere una disuguaglianza si dimostra su un sottoinsieme denso di uno spazio di Banach e si prolunga al completamento per densità.

Comunque credo il tuo procedimento vada bene.

[DavideGenova1]

Grazie ancora!!!!!