F.D. esatta in un sottoinsieme di R^2
Salve, ho un esercizio in cui mi viene richiesto di verificare che questa forma differenziale sia esatta in $R^2$, ma non lo è.
In tal caso, mi si chiede se esiste una funzione $mu(x)$ tale che la f.d. $mu(x)omega$ sia esatta in un sottoinsieme di $R^2$.
La f.d. è: $omega = (1-x^2y)dx+(x^2y-x^3)dy$.
Sinceramente non saprei da dove iniziare a trovare la $mu(x)$ e la conseguente f.d. $mu(x)omega$
In tal caso, mi si chiede se esiste una funzione $mu(x)$ tale che la f.d. $mu(x)omega$ sia esatta in un sottoinsieme di $R^2$.
La f.d. è: $omega = (1-x^2y)dx+(x^2y-x^3)dy$.
Sinceramente non saprei da dove iniziare a trovare la $mu(x)$ e la conseguente f.d. $mu(x)omega$
Risposte
Ho capito il problema, la $\mu(x)$ di una forma differenziale $\omega=P(x;y)dx+Q(x;y)dy$ è data da $\frac{1}{Q}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$ nell'ipotesi che tale ultima funzione non dipenda dalla y.
Analogamente, volendo cercare $\mu(y)$ si considera $\frac{-1}{P}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$.
Tale $\mu(\cdot)$ si chiama fattore integrante nella variabile "$\cdot$".
Analogamente, volendo cercare $\mu(y)$ si considera $\frac{-1}{P}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$.
Tale $\mu(\cdot)$ si chiama fattore integrante nella variabile "$\cdot$".
"j18eos":
Ho capito il problema, la $\mu(x)$ di una forma differenziale $\omega=P(x;y)dx+Q(x;y)dy$ è data da $\frac{1}{Q}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$ nell'ipotesi che tale ultima funzione non dipenda dalla y.
Analogamente, volendo cercare $\mu(y)$ si considera $\frac{-1}{P}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$.
Tale $\mu(\cdot)$ si chiama fattore integrante nella variabile "$\cdot$".
mi fido ciecamente di quanto mi dici, ma potresti spiegarmi come ricavare l'espressione di $\mu(x)$? Giusto per capire, eh
$\mu(x)=\frac{1}{Q}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$ nell'ipotesi che tale espressione dipenda dalla sola $x$!
"j18eos":
$\mu(x)=\frac{1}{Q}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$ nell'ipotesi che tale espressione dipenda dalla sola $x$!
sì, ho capito che è quella l'espressione di $\mu(x)$, ma quello che intendevo io è come sei giunto ad affermare che fosse così
L'eserciziario da cui l'ho presa non riporta la dimostrazione 
"j18eos":
L'eserciziario da cui l'ho presa non riporta la dimostrazione
ok, ti ringrazio comunque
vedo se esatta usando la formula che mi hai detto
"j18eos":
Ho capito il problema, la $\mu(x)$ di una forma differenziale $\omega=P(x;y)dx+Q(x;y)dy$ è data da $\frac{1}{Q}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$ nell'ipotesi che tale ultima funzione non dipenda dalla y.
Se non ricordo male non è proprio così.
Quell'espressione entra in ballo, ma non perché rappresenta il fattore integrante, piuttosto perché quest'ultimo si ottiene risolvendo l'equazione differenziale
[tex]$\mu'(x)=\mu(x)\cdot \frac{p_y(x,y)-q_x(x,y)}{q(x,y)}$[/tex] nel caso in cui quella frazione dipenda solo da $x$ e il denominatore non crei problemi.
Se invece cerchiamo [tex]$\mu(y)$[/tex], la frazione è [tex]$-\frac{p_y(x,y)-q_x(x,y)}{p(x,y)}$[/tex], appunto, e deve dipendere da $y$ solo.
La dimostrazione di questa formula è molto semplice e ti consiglio di provarla a fare: si tratta di considerare la nuova forma
[tex]$\omega' = \mu(x)p(x,y)dx+\mu(x)q(x,y)dy$[/tex]
e imporre la condizione di chiusura (ovvero derivare il primo pezzo rispetto a $y$, il secondo rispetto a $x$ ed eguagliare).
L'equazione che ti viene ti porta a quella formuletta.
Per il tuo esercizio proviamo a procedere così. Considerata la nuova forma differenziale
[tex]$\omega' = \mu(x)(1-yx^2)dx+\mu(x)(x^2y-x^3)dy$[/tex]
imponendo la chiusura
[tex]$\mu(x)(-x^2)=\mu'(x)(x^2y-x^3)+\mu(x)(2xy-3x^2)$[/tex]
Dopo qualche conto si vede che una soluzione è ad esempio [tex]$\mu(x)=\frac{1}{x^2}$[/tex]
Ora, il punto è questo: quella funzione non è definita in tutti il piano, ma nel piano bucato, quindi non stiamo in un semplicemente connesso.
Ma il testo (penso che il senso fosse questo) chiede semplicemente se esiste una funzione che rende esatta la forma in un sottoinsieme di $RR^2$.
Ti chiedo: conosci il fatto che la chiusura implica l'esattezza locale?
Ovvero, quello che leggi qua
http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node68.html
sopra il titolo grosso "forme differenziali".
"Steven":
[quote="j18eos"]Ho capito il problema, la $\mu(x)$ di una forma differenziale $\omega=P(x;y)dx+Q(x;y)dy$ è data da $\frac{1}{Q}(\frac{\del P}{\del y}-\frac{\del Q}{\del x})$ nell'ipotesi che tale ultima funzione non dipenda dalla y.
Se non ricordo male non è proprio così.
Quell'espressione entra in ballo, ma non perché rappresenta il fattore integrante, piuttosto perché quest'ultimo si ottiene risolvendo l'equazione differenziale
[tex]$\mu'(x)=\mu(x)\cdot \frac{p_y(x,y)-q_x(x,y)}{q(x,y)}$[/tex] nel caso in cui quella frazione dipenda solo da $x$ e il denominatore non crei problemi.
Se invece cerchiamo [tex]$\mu(y)$[/tex], la frazione è [tex]$-\frac{p_y(x,y)-q_x(x,y)}{p(x,y)}$[/tex], appunto, e deve dipendere da $y$ solo.
La dimostrazione di questa formula è molto semplice e ti consiglio di provarla a fare: si tratta di considerare la nuova forma
[tex]$\omega' = \mu(x)p(x,y)dx+\mu(x)q(x,y)dy$[/tex]
e imporre la condizione di chiusura (ovvero derivare il primo pezzo rispetto a $y$, il secondo rispetto a $x$ ed eguagliare).
L'equazione che ti viene ti porta a quella formuletta.
Per il tuo esercizio proviamo a procedere così. Considerata la nuova forma differenziale
[tex]$\omega' = \mu(x)(1-yx^2)dx+\mu(x)(x^2y-x^3)dy$[/tex]
imponendo la chiusura
[tex]$\mu(x)(-x^2)=\mu'(x)(x^2y-x^3)+\mu(x)(2xy-3x^2)$[/tex]
Dopo qualche conto si vede che una soluzione è ad esempio [tex]$\mu(x)=\frac{1}{x^2}$[/tex]
Ora, il punto è questo: quella funzione non è definita in tutti il piano, ma nel piano bucato, quindi non stiamo in un semplicemente connesso.
Ma il testo (penso che il senso fosse questo) chiede semplicemente se esiste una funzione che rende esatta la forma in un sottoinsieme di $RR^2$.
Ti chiedo: conosci il fatto che la chiusura implica l'esattezza locale?
Ovvero, quello che leggi qua
http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node68.html
sopra il titolo grosso "forme differenziali".[/quote]
sì, conosco l'implicazione che dici, che vale in un aperto semplicemente connesso in $R^2$ o, in generale, in un aperto stellato in $R^n$
Bene, allora l'esercizio è finito, dal momento che si chiedeva solo circa l'esistenza di un generico sottoinsieme di $RR^2$ ove valesse l'esattezza.
"Steven":
Bene, allora l'esercizio è finito, dal momento che si chiedeva solo circa l'esistenza di un generico sottoinsieme di $RR^2$ ove valesse l'esattezza.
ok, grazie mille
"Steven":
[tex]$\mu(x)(-x^2)=\mu'(x)(x^2y-x^3)+\mu(x)(2xy-3x^2)$[/tex]
Dopo qualche conto si vede che una soluzione è ad esempio [tex]$\mu(x)=\frac{1}{x^2}$[/tex]
So che questo topic è un pò vecchio, però non riesco a capire quali conti son stati fatti per giungere alla soluzione...può darsi pure che io abbia la mente talmente annebbiata da mille cose che non riesco...con cosa è stato sostituito $mu'(x)$?
rifaccio la domanda di fabiowd1990 dato che mi servirebbe pure a me la risposta a questo esercizio. i calcoli che conducono a $ mu(x) $ come sono stati fatti??. Vorrei saperlo perchè non mi riesco a trovare, grazie!!
Si è risolta una equazione differenziale del primo ordine, niente di più.
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