Fattorizzazione polinomio....
Salve a tutti! Ero alle prese con un esercizio di fattorizzazione del polinomio \(\displaystyle x^3-2x+2 \).
Sono riuscito a dimostrare che non ha radici razionali, quindi potrebbe averne tre reali oppure una reale e due coniugate complesse.. Per il teorema di Bolzano si ottiene che tra -10 e -1 vi è almeno una radice reale (intervallo che si potrebbe restringere tramite uno dei vari metodi di calcolo approssimato)! Quindi tale radice sarà irrazionale e negativa. Come potrei dimostrare (o confutare) che le radici rimanenti sono complesse?
Avevo pensato che, se la radice reale considerata è \(\displaystyle \alpha \), allora \(\displaystyle (x-\alpha)(x^2+\beta x + \gamma) = x^3-2x+2 \), per poi cercare di determinare i valori dei tre coefficienti in modo da rendere evidente che la parabola \(\displaystyle x^2+\beta x + \gamma \) non abbia radici reali... Ma forse sono fuori strada.... Il metodo è corretto secondo voi?
Sono riuscito a dimostrare che non ha radici razionali, quindi potrebbe averne tre reali oppure una reale e due coniugate complesse.. Per il teorema di Bolzano si ottiene che tra -10 e -1 vi è almeno una radice reale (intervallo che si potrebbe restringere tramite uno dei vari metodi di calcolo approssimato)! Quindi tale radice sarà irrazionale e negativa. Come potrei dimostrare (o confutare) che le radici rimanenti sono complesse?
Avevo pensato che, se la radice reale considerata è \(\displaystyle \alpha \), allora \(\displaystyle (x-\alpha)(x^2+\beta x + \gamma) = x^3-2x+2 \), per poi cercare di determinare i valori dei tre coefficienti in modo da rendere evidente che la parabola \(\displaystyle x^2+\beta x + \gamma \) non abbia radici reali... Ma forse sono fuori strada.... Il metodo è corretto secondo voi?
Risposte
1. La radice si trova tra $-2$ e $-1$ (nel caso ti interessasse dare una stima più precisa dello zero);
2. per l'unicità, io proverei con dei ragionamenti più qualititivi. Ad esempio, osserva che $p(x) \to + \infty$ per $x \to +\infty$; prova quindi a studiare la monotonia di quel polinomio (e.g., si vede che la derivata ha due zeri, uno sarà un massimo e l'altro un minimo locale); calcola il valore assunto nel punto di minimo e verifica che esso è...
2. per l'unicità, io proverei con dei ragionamenti più qualititivi. Ad esempio, osserva che $p(x) \to + \infty$ per $x \to +\infty$; prova quindi a studiare la monotonia di quel polinomio (e.g., si vede che la derivata ha due zeri, uno sarà un massimo e l'altro un minimo locale); calcola il valore assunto nel punto di minimo e verifica che esso è...
Giusto! è vero! considerando che la funzione è strettamente monotona crescente tra meno infinito e due e tra il punto di minimo locale trovato con la derivata e infinito.. L'intervallo che ho escluso possiede due punti stazionari, entrambi positivi.. Di conseguenza, dopo la radice reale che ho trovato il polinomio considerato è sempre positivo in senso stretto e quindi le radici rimanenti sono complesse! Perfetto!
Volevo chiedere un'altra cosa: avevo letto che era possibile determinare l'andamento qualitativo del grafico descritto dal polinomio tramite la conoscenza delle sue radici reali e della loro molteplicità.. Ad esempio, grazie alle conclusioni a cui si è giunti, si ha che l'unica radice reale ha molteplicità 1 e quindi significa che la funzione sarà negativa a "sinistra" di tale radice (perché "proviene da $-\infty$" essendo il suo grado dispari) e positiva a "destra" della radice (fino al raggiungimento di un altro zero di molteplicità uno o fino a $+\infty$).. Tuttavia il fatto di conoscere la molteplicità della radice reale in questione non aiuta a rilevare la presenza dei due punti stazionari, così come non aiuta a rilevare la presenza di un flesso obliquo in zero.... Sarà che in effetti conoscere radici e molteplicità non aiuti a comprendere qualitativamente l'andamento del grafico di un polinomio? O mi sbaglio? Poiché in questo caso sembra non aiutare.. Sarà che effettivamente flessi e punti stazionari non sono "giurisdizione" delle radici e della loro molteplicità.... quanto della derivata..
Volevo chiedere un'altra cosa: avevo letto che era possibile determinare l'andamento qualitativo del grafico descritto dal polinomio tramite la conoscenza delle sue radici reali e della loro molteplicità.. Ad esempio, grazie alle conclusioni a cui si è giunti, si ha che l'unica radice reale ha molteplicità 1 e quindi significa che la funzione sarà negativa a "sinistra" di tale radice (perché "proviene da $-\infty$" essendo il suo grado dispari) e positiva a "destra" della radice (fino al raggiungimento di un altro zero di molteplicità uno o fino a $+\infty$).. Tuttavia il fatto di conoscere la molteplicità della radice reale in questione non aiuta a rilevare la presenza dei due punti stazionari, così come non aiuta a rilevare la presenza di un flesso obliquo in zero.... Sarà che in effetti conoscere radici e molteplicità non aiuti a comprendere qualitativamente l'andamento del grafico di un polinomio? O mi sbaglio? Poiché in questo caso sembra non aiutare.. Sarà che effettivamente flessi e punti stazionari non sono "giurisdizione" delle radici e della loro molteplicità.... quanto della derivata..
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