Fattorizzare il polinomio\(\displaystyle x^6 + 1 \) così?

[smaug1]

Si inizia trovando le radici con la seguente formula:

\(\displaystyle w_k = \sqrt[n]{|z|} (cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} - i sin \frac{\theta + 2k\pi}{n}) \) ? non essendoci radici reali quelle complesse sono \(\displaystyle 6 ? \).

Quindi \(\displaystyle k= 0,1...5 \), ma una volta trovate le \(\displaystyle w_{0,1...5} \) cosa posso dire di \(\displaystyle x^6 + 1 \)

[ciampax]

Che $x^6+1=\prod_{k=0}^5 (x-w_k)$... comunque è anche vero che

$x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$

[smaug1]

Su alcune dispense ho trovato che:

\(\displaystyle x^6 +1 = Q_1(x)Q_2(x)Q_3(x) \) con

\(\displaystyle Q_1(x) \)\(\displaystyle = \)\(\displaystyle (x - w_o)(x - \overline{w_o}) \)

ma non ho capito il perchè.

[ciampax]

Ogni polinomio di secondo grado che ammette radice $\alpha$ complessa, ha come altra radice $\bar{\alpha}$ la sua coniugata (discende dalla formula risolutiva delle equazioni algebriche). Ne segue che, dal momento $x^6+1$ ammette sei radici complesse, esse devono essere coniugate a due a due. Ergo la decomposizione può essere fatta come prodotto di tre polinomi di secondo grado che si scompongono, a loro volta, come $(x-\alpha)(x-\bar{\alpha})$.

[smaug1]

Quindi se il polinomio fosse stato di grado \(\displaystyle n=8 \) avrei avuto anche \(\displaystyle Q_4(x) \) in pratica...ma allora non esiste un polinomio con radici complesse di grado dispari???

[Gi81]

No, non esiste un polinomio (a coefficienti reali) di grado dispari con radici tutte complesse.

E questo è il motivo per cui, ogni volta che hai un polinomio $p(x)$ (a coefficienti reali) di grado dispari, sei sicuro che $EE alpha in RR$ tale che $p(alpha)=0$