Fattoriali

[gugione]

ciao,

sto svolgendo un esercizio sull'insieme dei minoranti, ma ho problemi con $((2n),(n))$ che é quanto mi propone l'esercizio. Io ho provato a portarlo in una forma normale tramite i fattoriali...ma penso ci sia qualcosa che non va XD
$((2n),(n)) = (2n!)/((2n-n)!(n)!$
$=(2n!)/(n!n!)$
a questo punto ho semplificato ottenendo $2/(n!)$. Ma questo non ha senso perché se devo poi verificare che 1 sia minorante (quanto richiesto dall'esercizio) non sono in grado di farlo con $n!$ al denominatore. Per questo ho il dubbio di aver sbagliato sopra i conti..
Che mi dite?
Grazie

[ciampax]

Assolutamente no: $(2n)! =2n (2n-1)(2n-2)... (n+1) n! $

[gugione]

ma io a numeratore dovrei avere $2n!$ che dovrebbe essere diverso da $(2n)!$... O sbaglio?

[axpgn]

Sbagli.

[dan952]

Mettiamo le cose in chiaro: $((2n),(n))=\frac{(2n)!}{n!n!}!= \frac{2 \cdot n!}{n!n!}=\frac{2}{n!}$ ( in generale), il coefficiente binomiale $((2n),(n))$ puoi semplificartelo in questo modo:
$$((2n),(n))=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdots (2n-1) \cdot (2n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n\cdot n!}=\frac{(n+1) \cdot (n+2) \cdots (2n-1) \cdot (2n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n}$$