Fattoriale

[profumo_colorato]

Salve.
Volevo chiedervi se l'espressione $(sqrt(a b))^(m+k)/((m+k)!)$ può essere scomposta o modificata in qualche modo da ottenere $1/(k!)$.

Vi ringrazio.

[misanino]

Questa domanda non ha molto senso.
Se ad esempio $a=b=1$ allora $sqrt(ab)^(m+k)=1$
e quindi ottieni $1/((m+k)!)$ che se $m>0$ non può certo diventare $1/(k!)$
Ma in quale esercizio si colloca questa tua richiesta?

[profumo_colorato]

Da questa

$\sum_{r=n+1}^infty r(z sqrt(a/b))^r I_r (2sqrt(abt))$

devo arrivare a questa

$\sum_{m=0}^infty 1/(m!)((bt)/z)^m sum_{k=m+n+1}^infty (k-m) (azt)^k/(k!)

utilizzando questa

$I_k(x)=sum_{m=0}^infty ((x/2)^(k+2m))/(m!(m+k)!)

Ho provato a porre $r=k-m$ quindi mi trovo che $k=m+n+1$... Così ottengo tutti i termini tranne $1/k!$ e mi ritrovo quel rapporto...

[misanino]

Specifica un po' meglio.
$a,b,t,z$ sono numeri interi, reali, complessi....?

[profumo_colorato]

Scusa!
Sono interi... Rappresentano i parametri di arrivo e di servizio in un sistema di servizio.

[misanino]

"profumo_colorato":Da questa

$\sum_{r=n+1}^infty r(z sqrt(a/b))^r I_r (2tsqrt(ab))$

devo arrivare a questa

$\sum_{m=0}^infty 1/(m!)((bt)/z)^m sum_{k=m+n+1}^infty (k-m) (azt)^k/(k!)

utilizzando questa

$I_k(x)=sum_{m=0}^infty ((x/2)^(k+2m))/(m!(m+k)!)

Ho provato a porre $r=k-m$ quindi mi trovo che $k=m+n+1$... Così ottengo tutti i termini tranne $1/k!$ e mi ritrovo quel rapporto...

Io direi che esce (se t non è sotto radice) cioè se devi mostrare che:

$\sum_{r=n+1}^infty r(z sqrt(a/b))^r I_r (2tsqrt(ab))$
è uguale a
$\sum_{m=0}^infty 1/(m!)((bt)/z)^m sum_{k=m+n+1}^infty (k-m) (azt)^k/(k!)$

Infatti:
$I_r (2tsqrt(ab))=sum_{m=0}^infty (((2tsqrt(ab))/2)^(r+2m))/(m!(m+r)!)=sum_{m=0}^infty ((tsqrt(ab))^(r+2m))/(m!(m+r)!)$
Quindi
$\sum_{r=n+1}^infty r(z sqrt(a/b))^r I_r (2tsqrt(ab))=\sum_{r=n+1}^infty r(z sqrt(a/b))^r sum_{m=0}^infty ((tsqrt(ab))^(r+2m))/(m!(m+r)!)=$
$=\sum_{r=n+1}^infty sum_{m=0}^infty r(z sqrt(a/b))^r ((tsqrt(ab))^(r+2m))/(m!(m+r)!)=\sum_{r=n+1}^infty sum_{m=0}^infty rz^r a^(r/2)b^(-r/2)t^(r+2m)a^(r/2+m)b^(r/2+m)1/(m!(m+r)!)=$
$=\sum_{r=n+1}^infty sum_{m=0}^infty rz^r t^(r+2m) a^(r+m)b^m 1/(m!(m+r)!)$
Pongo ora $m+r=k$ e quindi $r=k-m$
Ottengo allora
$sum_{m=0}^infty \sum_{k=m+n+1}^infty (k-m)z^(k-m) t^(k+m) a^kb^m1/(m!) 1/(k!)=$
$=\sum_{m=0}^infty 1/(m!)((bt)/z)^m sum_{k=m+n+1}^infty (k-m) (azt)^k/(k!)$

Hai capito ora?

[profumo_colorato]

Sì! Grazie! Procedevo allo stesso modo ma non mi ero accorta di aver scritto k al posto di r nel fattoriale e quindi non mi tornava più niente!
Ancora grazie!