Fattore integrante Aiuto!!

[qwerty753]

Ecco un esercizio da esame...chi mi puo' aiutare?

Trovare l'integrale generale applicando il fattore integrante alle eq.seguenti:

a) -ydx+(x+x^2*y^3)dy=0

b) y^2dx-(xy+x^3)dy=0

[Sk_Anonymous]

Le equazioni da te indicate sono del tipo:
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,(delM)/(del y)!=(del N)/(del x)$
Per la determinazione dell'eventuale fattore integrante vi sono
due possibili casi:
1) $1/N((del M)/(del y)-(del N)/(del x))=f(x)$ ed in tal caso il
fattore integrante e' funzione della sola x ed e' dato da:
$mu (x)=e^(int f(x)dx)$
2) $1/M((del M)/(del y)-(del N)/(del x))=g(y)$ ed in tal caso il
fattore integrante e' funzione della sola y ed e' dato da:
$sigma (y)=e^(int g(y)dy)$
Nella circostanza, entrambe le equazioni proposte ricadono nel primo
caso.Pertanto risolvo solo la prima:per la seconda puoi ripetere il
procedimento come esercizio.
Risulta:
$1/N((del M)/(del y)-(del N)/(del x))=1/(x(1+xy^3))*(-1-1-2xy^3)=-2/x$
Quindi:
$mu (x)=e^(int(-2/x) dx)=1/(x^2)$
e moltiplicando tutta l'equazione per $mu$:
$-y/(x^2)dx+(1/x+y^3)dy=0$ e si verifica facilmente che ora il
primo membro di tale equazione e' un differenziale esatto di una funzione
G(x,y) da determinare.
Si ha allora:
$(del G)/(del x)=-y/(x^2)$ ed integrando rispetto ad x:
(1) $G=y/x+phi (y)$
Derivando la (1) rispetto ad y ed eguagliando a $1/x+y^3$ si ottiene:
$1/x+phi'(y)=1/x+y^3$ da cui,a meno di una costante, si ricava $phi(y)=(y^4)/4$
In definitiva ,sostituendo in (1),si ottiene l'integrale generale:
$y/x+(y^4)/4=C$ con C costante arbitraria.
karl

[qwerty753]

Grazie, ma come si intuisce che mu(x) o mu(y)?

[Sk_Anonymous]

Non e' che ci sia molto da intuire.Si fanno i calcoli relativi ai
due casi,si vede quale di essi capita e poi si agisce di conseguenza.
karl