Fatto carino sulle serie

[gygabyte017]

Ciao a tutti, mi è capitato su uno scritto un fatto carino che non sapevo e che mi ha lasciato abbastanza sorpreso... Come lo dimostrereste??:D

Sia ${a_n}_n$ una successione a termini positivi decrescente infinitesima tale che $sum_{n=1}^{+oo} a_n = +oo$.
Allora $AA t in [0,+oo] \quad EE I_t subseteq NN$ insieme di indici tale che $sum_{n in I_t} a_n = t$.

[gugo82]

Ad occhio, direi che basta lavorare scegliendosi gli indici giusti col principio del buon ordine.

In realtà vale un fatto ancora più sorprendente.

Sia [tex]\sum a_n[/tex] una serie non assolutamente convergente (quindi può fare ciò che vuole, basta che [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|=+\infty[/tex]).
Comunque si fissi un numero [tex]$s\in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\}$[/tex], esiste un riordinamento [tex]\sum a_{\sigma (n)}[/tex] della serie [tex]\sum a_n[/tex] tale che:

[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma (n)} =s$[/tex].

In altre parole, comunque fisso una possibile somma [tex]$s$[/tex], è possibile cambiare di posto gli addendi della serie assegnata (con una permutazione di indici [tex]$\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$[/tex]) in modo che la nuova serie abbia per somma [tex]$s$[/tex].

[Hop Frog1]

intuitivamente non riesco davvero a capire come sia possibilie..

[Rigel1]

@gigabyte:

Si può definire $\sigma_0 = 0$ e, induttivamente,
$\sigma_{n+1} = \{(\sigma_n, "se " \sigma_n + a_{n+1} > t), (\sigma_n + a_{n+1}, "se " \sigma_n + a_{n+1} \le t):}$
Chiaramente nel secondo caso l'insieme di indici $I_t$ conterrà $n+1$, mentre nel primo caso no.
Poiché $(a_n)$ converge monotonamente a $0$ e $\sum a_n = +\infty$, la successione $(\sigma_n)$ convergerà a $t$.

Se infatti $t=+\infty$, allora per costruzione $I_t = \mathbb{N}$ e $\sigma_n \to +\infty$.
Consideriamo invece il caso $t\in [0,+\infty)$: per costruzione $(\sigma_n)$ è monotona crescente e $\sigma_n\le t$ per ogni $n$.
Di conseguenza $(\sigma_n)$ è convergente.
Inoltre, per ogni $n\notin I_t$ $\sigma_{n-1} \le t < \sigma_{n-1}+a_n$, cioè
$(1)\qquad t-\sigma_{n-1} < a_n$ per ogni $n\notin I_t$.
D'altra parte, per ogni $N\in\mathbb{N}$ esiste $n\ge N$ t.c. $n\notin I_t$ (altrimenti $(\sigma_n)$ divergerebbe a $+\infty$); poiché $a_n\to 0$, dalla (1) concludiamo che $\lim_n \sigma_n = "sup"_n \sigma_n = t$.

[gygabyte017]

@Hop Frog: già ha stupito anche me!

@Rigel: bene (la dimostrazione che ho fatto all'esame era molto più "rapida" (nel senso non rigorosa) perché non ho avuto tempo purtroppo, ma l'idea è quella)