Fare una dimostrazione

[hoffman1]

Ciao ragazzi dovrei effettuare una dimostrazione di questi insiemi.

$ Bsube A se è solo se A U B = A $

$ Bsube A se è solo se A nn B = B $

Capisco il concetto ma non riesco a dimostrare. E da studente universitario credo che sia abbastanza grave non saperlo fare

[gugo82]

Prova ad abbozzare qualcosa... Poi mettiamo insieme le cose.

[hoffman1]

Per la prima.
Se B unito ad A mi dà A vuol dire che B ha meno elementi di A ed è sottoinsieme A.

[Weierstress]

Mah, non direi che sia grave per una matricola senza esperienza in fatto di dimostrazioni, soprattutto una che non frequenta matematica... però dovresti sforzarti fin da subito di ragionarci e migliorare.

Vediamo cosa si può fare nella prima. Cosa significa fare l'unione di $A$ e $B$? Significa mettere insieme i loro elementi, scartando quelli che abbiamo già preso. Ora, cosa deduciamo dal fatto che $AuuB=A$? $B$ è scomparso? O sarà che abbiamo scartato tutti i suoi elementi perché ....(concludi tu e poi cerca di rendere il tutto un po' più formale).

Poi consideri l'implicazione opposta: $B$ sta in $A$, quindi cosa succede se faccio la loro unione? (questa è banale)

La seconda si fa sulla falsa riga della prima.

[hoffman1]

Infatti sulla prima ho capito fin da subito che A e B non sono due insiemi staccati perché appunto B scompare. Mi sono immaginato la cosa così.
A { 1,2,3 4} B { 1,2,3}

[Weierstress]

Sì, beh, non è che scompare, come dicevo. Semplicemente se non compare nessuno dei suoi elementi significa che essi appartengono già ad $A$, come nell'esempio che porti. Io ti butto lì delle idee, sta a te elaborarle e produrre una dimostrazione fatta per bene. Prova a farlo per entrambi...

[hoffman1]

$ Bsube A rArr x in B and x in A rArr A uu B=A $

[Weierstress]

Prova a leggere ad alta voce quello che hai scritto, in italiano: se $B$ sta in $A$ allora $x$ sta in $A$ e $B$, e quindi l'unione di $A$ e $B$ è $A$. Non è molto chiaro, vero? Uno si potrebbe domandare cos'è $x$ per esempio, non l'hai specificato.

Scriviamo chiaramente che se $BsubeA$, allora $forall binB$, $binA$ (non dimenticarti dei quantificatori...). Questo fatto praticamente conclude già la "dimostrazione"... come?

[gugo82]

A questo livello, non hai molto da usare se non le definizioni ed i modi di deduzione corretti.

Prova a seguire le indicazioni di Weierstress e vedi cosa ne tiri fuori... Poi guarda in spoiler per vedere come avrei fatto io e, se ti piace, cerca di adattarti la dimostrazione per provare il secondo fatto.

Dobbiamo mostrare che $Bsubseteq A$ se e solo se $AuuB=A$.

\(\Rightarrow\)) Se $Bsubseteq A$ allora $AuuB =A$.
Dato che risulta sempre $Asubseteq AuuB$, basta provare che l'essere $Bsubseteq A$ implica $AuuB subseteq A$.
Scegliamo $x in AuuB$: per definizione di unione o si ha $x in A$ oppure $x in B$; nel primo caso siamo a posto, ma anche nel secondo, poiché l'essere $Bsubseteq A$ implica $x in A$; dunque in ogni caso è $x in A$. Data l'arbitrarietà nella scelta di $x$, il ragionamento appena fatto mostra che:
\[
\forall x \in A\cup B,\; x\in A
\]
e ciò equivale a dire $AuuB subseteq A$, come volevamo.

\(\Leftarrow\))Se $AuuB=A$ allora $B subseteq A$.
Per assurdo, supponiamo che $B$ non sia un sottoinsieme di $A$. Allora $B$ è non vuoto ed, anzi, contiene almeno un elemento $bnotin A$; dunque, anche l'insieme unione $AuuB$ contiene l'elemento $b$ e perciò non può essere $AuuB=A$. Ma ciò è assurdo , poiché contro l'ipotesi $AuuB=A$.
Quindi è necessariamente $BsubseteqA$.