Fare l'esempio di funzione che...
Ho da proporvi degli esercizi che chiedono di fare un esempio di funzione in base a determinate caratteristiche...
1) Fare l'esempio di funzione f : R --> R regolare, decrescente e tale che $ lim_(x -> +oo ) f(x)= -2 $ $ lim_(x -> -oo ) f(x)= 1 $
2) Fare l'esempio di una funzione f : R -->R derivabile in tutti i punti, ma la cui derivata f' non è continua.
3) Fare un esempio di f : [0, $ oo $ ) -->R crescente e con infiniti punti di discontinuità , e un esempio di f : [0,2]-->R crescente e con infiniti punti di discontinuità.
Se una funzione è crescente allora $ AA x1, x2 in al dominio , x1 > x2 si ha f(x1) geqf(x2) $ e poi non saprei
Io mi limito ad andare per tentativi senza neanche trovare la soluzione... mi potete aiutare a trovare dei metodi più veloci?? Grazie in anticipo!
1) Fare l'esempio di funzione f : R --> R regolare, decrescente e tale che $ lim_(x -> +oo ) f(x)= -2 $ $ lim_(x -> -oo ) f(x)= 1 $
2) Fare l'esempio di una funzione f : R -->R derivabile in tutti i punti, ma la cui derivata f' non è continua.
3) Fare un esempio di f : [0, $ oo $ ) -->R crescente e con infiniti punti di discontinuità , e un esempio di f : [0,2]-->R crescente e con infiniti punti di discontinuità.
Se una funzione è crescente allora $ AA x1, x2 in al dominio , x1 > x2 si ha f(x1) geqf(x2) $ e poi non saprei
Io mi limito ad andare per tentativi senza neanche trovare la soluzione... mi potete aiutare a trovare dei metodi più veloci?? Grazie in anticipo!
Risposte
Non credo che ci siano dei "metodi", ma posso sbagliarmi...
... bisogna inventarsi qualcosa... ad esempio per 1) ci si può inventare:
$f(x)=-3/\pi arctg(x)- 1/2$
Gli altri 2 punti non saprei.
... bisogna inventarsi qualcosa... ad esempio per 1) ci si può inventare:
$f(x)=-3/\pi arctg(x)- 1/2$
Gli altri 2 punti non saprei.
"Quinzio":
Non credo che ci siano dei "metodi", ma posso sbagliarmi...
... bisogna inventarsi qualcosa... ad esempio per 1) ci si può inventare:
$f(x)=-3/\pi arctg(x)- 1/2$
Gli altri 2 punti non saprei.
Però a me sembra che il tuo esempio sia di una funzione crescente non decrescente o sbaglio?
Secondo te può una funzione continua crescente essere tale che $lim_(x-> +oo) f(x)= -2$ e $lim_(x-> -oo) f(x)= 1$??!!
Per quanto riguarda il punto 2) non è banalissima, potrebbe essere $f(x)= x^2 sin(1/x)$ se $x!=0$, $f(x)=0$ se $x=0$.
Controlla almeno che funzioni..
Per il punto 3) ammetto di doverci pensare.
Per quanto riguarda il punto 2) non è banalissima, potrebbe essere $f(x)= x^2 sin(1/x)$ se $x!=0$, $f(x)=0$ se $x=0$.
Controlla almeno che funzioni..
Per il punto 3) ammetto di doverci pensare.
"Giolly3":
[quote="Quinzio"]Non credo che ci siano dei "metodi", ma posso sbagliarmi...
... bisogna inventarsi qualcosa... ad esempio per 1) ci si può inventare:
$f(x)=-3/\pi arctg(x)- 1/2$
Gli altri 2 punti non saprei.
Però a me sembra che il tuo esempio sia di una funzione crescente non decrescente o sbaglio?[/quote]
La funzione è questa:
"Giuly19":
Secondo te può una funzione continua crescente essere tale che $lim_(x-> +oo) f(x)= -2$ e $lim_(x-> -oo) f(x)= 1$??!!
Ha messo prima il limite a +inf e poi quello a -inf.
Tanto per non confondere le idee.
wow siete proprio bravi a trovare gli esempi! beati voi XD Comunque grazie a tutti
Ok per quanto riguarda l'esempio 3) tu vuoi che sia monotona crescente e abbia infinite discontinuità.
C'è un teorema che ti dice che queste discontinuità devono essere a salto e possono essere al più un'infinità numerabile.
Per quanto riguarda una funzione definita su $RR^+$ è abbastanza facile, la costruisci in modo che valga $n$ in ogni intervallo del tipo $[n-1,n]$ ($n=1,2...$), quindi avrai che vale $1$ su $[0,1]$, $2$ su $[1,2]$ e così via.
Non è altro che la funzione limite di una successione di funzioni a gradini.
Per quanto riguarda quella definita su $[0,2]$ puoi fare come sopra ma in modo leggermente diverso, ovvero dividi l'intervallo $[0,2]$ in $n$ intervalli di lunghezza $2/n$, e fai in modo che valga $n$ sull'n-esimo intervallo. Per $n->+oo$ ottieni la funzione limite di questa successione, che dovrebbe andare bene per il tuo esempio.
Se non hai ancora studiato le successioni di funzioni posso capire che ti sia abbastanza ostico quanto ho scritto, però non ho trovato un modo migliore di definirle.
C'è un teorema che ti dice che queste discontinuità devono essere a salto e possono essere al più un'infinità numerabile.
Per quanto riguarda una funzione definita su $RR^+$ è abbastanza facile, la costruisci in modo che valga $n$ in ogni intervallo del tipo $[n-1,n]$ ($n=1,2...$), quindi avrai che vale $1$ su $[0,1]$, $2$ su $[1,2]$ e così via.
Non è altro che la funzione limite di una successione di funzioni a gradini.
Per quanto riguarda quella definita su $[0,2]$ puoi fare come sopra ma in modo leggermente diverso, ovvero dividi l'intervallo $[0,2]$ in $n$ intervalli di lunghezza $2/n$, e fai in modo che valga $n$ sull'n-esimo intervallo. Per $n->+oo$ ottieni la funzione limite di questa successione, che dovrebbe andare bene per il tuo esempio.
Se non hai ancora studiato le successioni di funzioni posso capire che ti sia abbastanza ostico quanto ho scritto, però non ho trovato un modo migliore di definirle.
@Giuly Come definisci f(2)?
Una risposta alla 3 è, ad esempio:
\[f(x)=\arctan [x]\; ,\]
ove \([x]\) è la parte intera.
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("0",0,1); plot("arctan(1)",1,2); plot("arctan(2)",2,3); plot("arctan(3)",3,4); plot("arctan(4)",4,5); plot("arctan(5)",5,6);[/asvg]
Per quella definita in \([0,2]\) basta, ad esempio, considerare:
\[g(x)=\begin{cases} f\left( \frac{x}{2(2-x)}\right)\quad &\text{, se } 0\leq x<2 \\ \frac{\pi}{2} &\text{, se } x=2,\end{cases}\]
il cui grafico si ottiene "comprimendo" quello di \(f(x)\) in \([0,2]\) ed aggiungendovi il punto di coordinate \((0,\frac{\pi}{2})\).
\[f(x)=\arctan [x]\; ,\]
ove \([x]\) è la parte intera.
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("0",0,1); plot("arctan(1)",1,2); plot("arctan(2)",2,3); plot("arctan(3)",3,4); plot("arctan(4)",4,5); plot("arctan(5)",5,6);[/asvg]
Per quella definita in \([0,2]\) basta, ad esempio, considerare:
\[g(x)=\begin{cases} f\left( \frac{x}{2(2-x)}\right)\quad &\text{, se } 0\leq x<2 \\ \frac{\pi}{2} &\text{, se } x=2,\end{cases}\]
il cui grafico si ottiene "comprimendo" quello di \(f(x)\) in \([0,2]\) ed aggiungendovi il punto di coordinate \((0,\frac{\pi}{2})\).
"DajeForte":
@Giuly Come definisci f(2)?
Non ho bisogno di definirla, l'ho già fatto. L'n-esimo intervallo sarà $[2-2/n,2]$ e la funzione lì varrà $n$.
Lo so che fa un po' schifo, però secondo me va bene.
L'esempio di Gugo è molto più elegante..
ma poi lanci n a +infinito.
Basta prendere una partizione contabile di [0,2) (per partizione intendo, disgiunti e che uniti danno l'intervallo) e poi assegnare in maniera ordinata i valori della funzione con una successione crescente $a_n$ con
$A= \su p_n a_n=A$
e questo è quello fatto da gugo.
Basta prendere una partizione contabile di [0,2) (per partizione intendo, disgiunti e che uniti danno l'intervallo) e poi assegnare in maniera ordinata i valori della funzione con una successione crescente $a_n$ con
$A= \su p_n a_n
e questo è quello fatto da gugo.
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