Fantomatico Teorema di Borel sulla convoluzione

[Arkon1]

Facendo una ricerca (forse un po' supeficiale) sembra che nessuno dei Borel abbia mai formulato un teorema sulla convoluzione, come il mio prof afferma... L'argomento è la sommabilità della convoluzione. Vi riporto la formula così come l'ho avuta d'avanti (e purtroppo è rimasta...) all'esame...

$int_-oo^(+oo)f(t)**g(t) dt = ... $

C'è un modo per dimostrare che l'integrale converge (in certe condizioni)?

[Kroldar]

quello che hai scritto tu non è l'integrale di convoluzione... cosa rappresenta (o rappresenterebbe) quell'integrale?
cmq secondo me quell'integrale converge se una delle due funzioni è sommabile e l'altra è, se non sommabile, almeno limitata
a tal proposito si può dimostrare che un sistema LTI è stabile se e soltanto se la sua risposta impulsiva è sommabile e per chi conosce un po' di teoria dei segnali è facile notare l'analogia con il problema da te esposto

[CiUkInO1]

Facendo una ricerca (forse un po' supeficiale) sembra che nessuno dei Borel abbia mai formulato un teorema sulla convoluzione, come il mio prof afferma... L'argomento è la sommabilità della convoluzione. Vi riporto la formula così come l'ho avuta d'avanti (e purtroppo è rimasta...) all'esame...

$int_-oo^(+oo)f(t)*g(t) dt = ... $

C'è un modo per dimostrare che l'integrale converge (in certe condizioni)?

Come gia detto non vedo dove sia la convoluzione.

Cmq se non sbaglio se $f(t)$ e $g(t)$ sono 2 funzioni di classe $L^2$ il loro prodotto è di classe $L^1$ (se non sbaglio è la disuguaglianza di Holder).
Quindi quel integrale converge...se ho scritto stronzate non uccidetemi

[Luca.Lussardi]

No, va bene; se $f,g$ stanno in $L^2(R)$ allora $fg$ sta in $L^1(R)$ e la disuguaglianza di Holder dice proprio che $||fg||_1<=||f||_2||g||_2$.

[Arkon1]

Scusate, la convoluzione sarebbe il puntino del prodotto... in pratica sarebbe
$int_-oo^(+oo) (int_-oo^(+oo)f(a)g(t-a)da)dt$
l'integrale di discutere la convergenza...

[Luca.Lussardi]

Hai fatto confusione con la notazione allora, avresti dovuto scrivere $(f * g) (t)$. Quindi stai facendo la norma $1$ della convoluzione.

[Luke1984]

Il fatto che affermi è vero se le due funzioni sono sommabili, a noi lo dimostrò il nostro prof per dimostrare che la convoluzione di due funzioni trasformabili con Fourier è ancora trasformabile.

$int_R|int_Rf(a)g(t-a)da|dt<=int_Rint_R|f(a)g(t-a)|dadt=$

(con la sostituzione $a=x$, $t-a=y$, $|J|=1$)

$=int_Rint_R|f(x)g(y)|dxdy=int_R|f(x)|dxint_R|f(y)|dy

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[Arkon1]

Grazie, quindi la convoluzione di due funzioni sommabili è ancora sommabile... c'entra nella dimostrazione il teorema di Fubini?

[Kroldar]

"Arkon":Grazie, quindi la convoluzione di due funzioni sommabili è ancora sommabile... c'entra nella dimostrazione il teorema di Fubini?

Certo! Il teorema di Fubini garantisce la possibilità di definire la convoluzione nel modo in cui è effettivamente definita e la sua sommabilità, preliminarmente però va applicato il teorema di Tonelli

[Arkon1]

Il teorema è questo... vi risulta che sia attribuito a Borel?

[Arkon1]

Signori, ho trovato una cosa:
http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html
formula 10...