Facile integrale
Calcolare $\int_0^{+ \infty} x^2008 e^{-x} \mbox{d}x$
Risposte
"Russell":
Calcolare $\int_0^{+ \infty} x^2008 e^{-x} \mbox{d}x$
Io direi di porre $n$ come esponente della $x$ e di integrare per parti:
$int x^n e^(-x) dx = - x^n e^(-x) + n int x^(n-1) e^(-x) dx$
L'uguaglianza che hai scritto è corretta (attribuendo al simbolo $int$ quel significato che solitamente gli si da)...ma non è la risposta al quesito...
ATTENZIONE:
1) Gli estremi di integrazione non sono irrilevanti...
2) Il risultato cercato è un valore numerico (infatti le funzioni continue sono integrabili secondo Riemann)
Prova ancora!
ATTENZIONE:
1) Gli estremi di integrazione non sono irrilevanti...
2) Il risultato cercato è un valore numerico (infatti le funzioni continue sono integrabili secondo Riemann)
Prova ancora!
"Russell":
L'uguaglianza che hai scritto è corretta...ma non è la risposta al quesito...
ATTENZIONE:
1) Gli estremi di integrazione non sono irrilevanti...
2) Il risultato cercato è un valore numerico (infatti le funzioni continue sono integrabili secondo Riemann)
Prova ancora!
La mia non è una soluzione, ma mi sa che è un passaggio obbligato..
Ho fatto rapidi calcoli, quindi potrebbero essere clamorosamente errati;
$int x^n e^(-x) dx = - e^(-x) cdot (x^n + n x^(n-1) + n (n-1) x^(n-2) + ... + n!)$
$int x^n e^(-x) dx = - e^(-x) cdot (x^n + n x^(n-1) + n (n-1) x^(n-2) + ... + n!)$
Gli estremi di integrazione!!! Trovare la primitiva è un lavoraccio!!
Avrai intuito che, se vuoi risolvere l'integrale tradizionalmente, hai bisogno di 2008 "per parti"!!
Decisamente noioso...
Prova a vedere se queste uguaglianze ti ispirano....
$\int_0^{+ \infty}e^{-x} \mbox{d}x=1=0!$
$\int_0^{+ \infty}x e^{-x} \mbox{d}x=1=1!$
$\int_0^{+ \infty}x^2 e^{-x} \mbox{d}x=2=2!$
Non è che forse.....??
Avrai intuito che, se vuoi risolvere l'integrale tradizionalmente, hai bisogno di 2008 "per parti"!!
Decisamente noioso...
Prova a vedere se queste uguaglianze ti ispirano....
$\int_0^{+ \infty}e^{-x} \mbox{d}x=1=0!$
$\int_0^{+ \infty}x e^{-x} \mbox{d}x=1=1!$
$\int_0^{+ \infty}x^2 e^{-x} \mbox{d}x=2=2!$
Non è che forse.....??
"franced":
Ho fatto rapidi calcoli, quindi potrebbero essere clamorosamente errati;
$int x^n e^(-x) dx = - e^(-x) cdot (x^n + n x^(n-1) + n (n-1) x^(n-2) + ... + n!)$
Funziona?
Gli estremi di integrazione!!! Trovare la primitiva è un lavoraccio!!
Avrai intuito che, se vuoi risolvere l'integrale tradizionalmente, hai bisogno di 2008 "per parti"!!
Decisamente noioso...
Prova a vedere se queste uguaglianze ti ispirano....
$\int_0^{+ \infty}e^{-x} \mbox{d}x=1=0!$
$\int_0^{+ \infty}x e^{-x} \mbox{d}x=1=1!$
$\int_0^{+ \infty}x^2 e^{-x} \mbox{d}x=2=2!$
Non è che forse.....??
Avrai intuito che, se vuoi risolvere l'integrale tradizionalmente, hai bisogno di 2008 "per parti"!!
Decisamente noioso...
Prova a vedere se queste uguaglianze ti ispirano....
$\int_0^{+ \infty}e^{-x} \mbox{d}x=1=0!$
$\int_0^{+ \infty}x e^{-x} \mbox{d}x=1=1!$
$\int_0^{+ \infty}x^2 e^{-x} \mbox{d}x=2=2!$
Non è che forse.....??
"franced":
[quote="franced"]Ho fatto rapidi calcoli, quindi potrebbero essere clamorosamente errati;
$int x^n e^(-x) dx = - e^(-x) cdot (x^n + n x^(n-1) + n (n-1) x^(n-2) + ... + n!)$
Funziona?[/quote]
Sì, dovrebbe funzionare.
A questo punto dobbiamo inserire gli estremi di integrazione
"Russell":
Gli estremi di integrazione!!! Trovare la primitiva è un lavoraccio!!
Avrai intuito che, se vuoi risolvere l'integrale tradizionalmente, hai bisogno di 2008 "per parti"!!
Decisamente noioso...
Senti, 2008 integrazioni per parti te le fai te!!
Io ne faccio due e poi cerco una bella formuletta..
"franced":
Ho fatto rapidi calcoli, quindi potrebbero essere clamorosamente errati;
$int x^n e^(-x) dx = - e^(-x) cdot (x^n + n x^(n-1) + n (n-1) x^(n-2) + ... + n!)$
Inserendo $x= + infty$ il termine è nullo, inserendo $x=0$ ottengo tutti valori nulli
dentro la parentesi tranne l'ultimo, che non coinvolge la $x$.
L'integrale è allora uguale a $n!$
Si può dimostrare per induzione, facendo una sola integrazione per parti.
In ogni caso io ho trovato una formula più generale, perché ho espresso
la primitiva di $x^n e^(-x)$ con una formula chiusa.
"Russell":
Gli estremi di integrazione!!! Trovare la primitiva è un lavoraccio!!
E' un lavoraccio per chi non la sa (o vuole) trovare.
Si, è corretto!
E' solo che andavano dimostrati i passaggi...
Evitando di trovare una primitiva generale si potevano evitare "formule" chiuse e lunghe, magari con i puntini di sospensione!
Comunque la soluzione è corretta.
E' solo che andavano dimostrati i passaggi...
Evitando di trovare una primitiva generale si potevano evitare "formule" chiuse e lunghe, magari con i puntini di sospensione!
Comunque la soluzione è corretta.
"Russell":
Si, è corretto!
E' solo che andavano dimostrati i passaggi...
Evitando di trovare una primitiva generale si potevano evitare "formule" chiuse e lunghe, magari con i puntini di sospensione!
Comunque la soluzione è corretta.
Ma che fai?
Ci dai gli esercizi per casa?
Sapevi già la soluzione e ci hai messo alla prova, per caso?
Certo che sapevo già la soluzione!!
Pensavo che, come negli altri forum di matematica, anche in questo fossero graditi dei quesiti da provare a risolvere (così per divertimento): io li gradirei...
E' nello stile di un forum di matematica! Basta dare un'occhiata sul web!
Oppure bisogna usarlo solo come "sportello help"?
Pensavo che, come negli altri forum di matematica, anche in questo fossero graditi dei quesiti da provare a risolvere (così per divertimento): io li gradirei...
E' nello stile di un forum di matematica! Basta dare un'occhiata sul web!
Oppure bisogna usarlo solo come "sportello help"?
"Russell":
Certo che sapevo già la soluzione!!
Pensavo che, come negli altri forum di matematica, anche in questo fossero graditi dei quesiti da provare a risolvere (così per divertimento): io li gradirei...
E' nello stile di un forum di matematica! Basta dare un'occhiata sul web!
Oppure bisogna usarlo solo come "sportello help"?
No, benissimo!!
Guarda non se ne può più di quelli che dicono: "Aiuto, c'è un'equazione di primo grado che mi tormenta!!"
Senti ma sei uno studente?
Si, sono uno studente di Matematica
"Russell":
Si, sono uno studente di Matematica
Allora in bocca al lupo per gli studi!
Grazie e altrettanto!! (Se sei uno studente anche tu)
"Russell":
Grazie e altrettanto!! (Se sei uno studente anche tu)
No, io insegno in un liceo scientifico
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