$f_n to f$ in $L^1$ + equilimitatezza $=> f_ng to fg$ per ogni $g$ integrabile

[Paolo902]

Problema (PhD SISSA 2007). Sia $(f_n) \subset \L^1:=L^1(0,1)$ una successione di funzioni convergente (in $L^1$) a $f \in L^1$ e supponiamo esista $M>0$ tale che \( \vert f_n \vert \le M\) q.o. su $(0,1)$.
(i) Dimostrare che per ogni $g \in L^1$ il prodotto $f_ng \to fg$ in $L^1$ per $n \to+ \infty$.
(ii) Provare con un esempio che senza l'ipotesi di equilimitatezza la conclusione precedente non è più vera.

In spoiler la mia soluzione di cui vi chiedo gentilmente un parere.

Per il punto (i) uso il Lemma delle sottoestratte, vale a dire la proposizione che stabilisce che una successione converge sse ogni sua sottosuccessione possiede una sotto-estratta convergente.

Sia infatti \(f_{n_k}\) un'arbitraria sottosuccessione di $f_n$. Poiché chiaramente \( f_{n_k} \to f \) in $L^1$, esiste una sotto-estratta \(f_{n_{k_j}}\) che converge puntualmente q.o. a $f$. Per convergenza dominata, usando il bound uniforme su $f_n$, \(f_{n_{k_j}}g \to fg\) in $L^1$. Invocando il lemma già citato sopra, posso concludere che $f_ng \to fg$ in $L^1$.

Per la seconda parte, ho pensato quanto segue: definisco
\[
f_n = \begin{cases}
n & 0 \le x \le \frac{1}{n^2} \\
0 & \text{ altrimenti.}
\end{cases}
\]
Si ha \(\int f_n = \frac{1}{n} \to 0\) e quindi $f_n \to 0$ in $L^1$. Scegliendo come \( g=\frac{1}{\sqrt{x}} \in L^1\) si ha per ogni $n \in \NN$
\[
\int f_n g = \int_0^{1/n^2} \frac{n}{\sqrt{x}}dx \ge \frac{1}{n^2}n^2 = 1
\]
e quindi $f_n g$ non può andare a 0 in $L^1$.

Ringrazio in anticipo per correzioni e suggerimenti.

[Sk_Anonymous]

Secondo me è corretto.

[Lumi1]

Confermo. E anzi complimenti per la soluzione del primo punto, molto più elegante e veloce della mia (avevo usato l'equilimitatezza delle $f_n$ come funzionali associati...).