F monotona => f^(-1) monotona.

[Kashaman]

salve, qualche giorno fa il nostro professore ci ha assegnato di dimostrare il seguente asserto.

Sia $f: A->B$ , $A,Bsube R$ una funzione bigettiva.
Allora vale la seguente implicazione
($f$ monotona) $=> f^(-1) $monotona.

Ho pensato dimostrare il tutto al modo seguente.
Per ipotesi, essendo $f$ monotona (supponiamo strettamente crescente, l'altro caso è analogo) ho che $AA x,y in A t.c x f(x) Poiché $f$ è bigettiva (in particolar modo surgettiva)
$EE| x_0,y_0 in RR t.c f(x)=x_0 , f(y)=y_0$ (2)
In particolar modo dalla (1) ho che $x_0 Da (1), (3) e (4) segue che $x_0 f^(-1)(x_0)=x < f^(-1)(y_0)=y$ . Cioè l'asserto.

Che ne dite? o ho fatto un poco di pasticci? grazie mille.

[theras]

Tecnicamente un pò confuso,ma l'idea di fondo è buona;
se vuoi ripulirlo un pò ammetti per assurdo,
supposto per fissare le idee che $f$ sia crescente(ossia quanto hai giustamente fatto..),
che $EEoverline(x),overline(y)inB" t.c. "overline(x)=f^(-1)(overline(y))$ (2):
applicando la f ad entrambi i membri della (2)
(com'è legittimo fare perchè entrambi lementi di $A$..)
avresti allora,proprio per l'ipotizzata crescenza di $f$,che $f[f^(-1)(overline(x))]>=f[f^(-1)(overline(y))]rArroverline(x)>=overline(y)$,
in aperto contrasto,vista la (1),con la proprietà di tricotonia in $RR$..
Saluti dal web.

[Kashaman]

sei stato chiarissimo theras. Lineare e semplice. Grazie mille