$f$ misurabile $\iff$ $"Re"f$ e $"Im"f$ lo sono
Ciao, amici! Una funzione $f:X\to\mathbb{C}$, dove $X$ è un insieme qualsiasi in cui è data una misura $\sigma$-additiva $\mu$ definita su una data $\sigma$-algebra \(\mathfrak{S}_{\mu}\subset\mathcal{P}(X)\), sia definita $\mu$-misurabile se per ogni insieme di Borel \(A\in\mathfrak{B}(\mathbb{C})\) del piano complesso si ha\[f^{-1}(A)\in\mathfrak{S}_{\mu}\]cioè \(f^{-1}(A)\) è misurabile.
Leggo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin (p. 278 dell'ed. Editori Riuniti) che è facile provare che ciò è equivalente alla $\mu$-misurabilità delle parti reale e immaginaria di questa funzione come funzioni $X\to\mathbb{R}$.
Qualcuno sarebbe così buono da spiegarmi quest'equivalenza? Non ho mai incontrato algebre di Borel se non quando il Kolmogorov-Fomin le definisce, anche se lo fa solo per \(\mathfrak{B}(\mathbb{R})\), ma ho trovato la definizione generale in rete, e non sto riuscendo ad ottenere nulla da poco che so...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Leggo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin (p. 278 dell'ed. Editori Riuniti) che è facile provare che ciò è equivalente alla $\mu$-misurabilità delle parti reale e immaginaria di questa funzione come funzioni $X\to\mathbb{R}$.
Qualcuno sarebbe così buono da spiegarmi quest'equivalenza? Non ho mai incontrato algebre di Borel se non quando il Kolmogorov-Fomin le definisce, anche se lo fa solo per \(\mathfrak{B}(\mathbb{R})\), ma ho trovato la definizione generale in rete, e non sto riuscendo ad ottenere nulla da poco che so...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Ciao Davide 
Un'implicazione è semplice. Poni, per esempio, $g(z):="Re"(z)$. Se $f=u+iv:X\to CC$ è misurabile, pure $g\circ f=u$ è misurabile, perché $g$ è continua (e perché $f$ è misurabile se e solo per ogni aperto $U$ di $CC$ si ha che $f^-1(U)$ è misurabile).
Per l'altra implicazione si può fare come Rudin: dimostra che se $u,v:X\to RR$ sono misurabili, allora lo è anche $g:=(u,v):X\to RR^2$ (nella dimostrazione ti serve il fatto che $RR^2$ ha una base di aperti numerabile). Dopodiché hai $f=h\circ g$, dove $h(x,y):=x+y$ è continua, e quindi $f$ è misurabile.
Un'implicazione è semplice. Poni, per esempio, $g(z):="Re"(z)$. Se $f=u+iv:X\to CC$ è misurabile, pure $g\circ f=u$ è misurabile, perché $g$ è continua (e perché $f$ è misurabile se e solo per ogni aperto $U$ di $CC$ si ha che $f^-1(U)$ è misurabile).
Per l'altra implicazione si può fare come Rudin: dimostra che se $u,v:X\to RR$ sono misurabili, allora lo è anche $g:=(u,v):X\to RR^2$ (nella dimostrazione ti serve il fatto che $RR^2$ ha una base di aperti numerabile). Dopodiché hai $f=h\circ g$, dove $h(x,y):=x+y$ è continua, e quindi $f$ è misurabile.
Infatti affinché un'applicazione tra spazi topologici $f:X\to Y$ sia misurabile secondo Borel è necessario e sufficiente che, per ogni aperto $A$ di $Y$, \(f^{-1}(A)\) appartenga all'algebra di Borel $\mathfrak{B}(X)$ di $X$, vero (e quindi continuità implica sempre misurabilità secondo Borel)?
Come base numerabile di $\mathbb{R}^2$ mi verrebbe da pensare a \(\{Q_q(x,y):q,x,y\in\mathbb{Q},q>0\}\) dove \(Q_q(x,y)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2:|u-x| Grazie di cuore!
Come base numerabile di $\mathbb{R}^2$ mi verrebbe da pensare a \(\{Q_q(x,y):q,x,y\in\mathbb{Q},q>0\}\) dove \(Q_q(x,y)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2:|u-x| Grazie di cuore!
"DavideGenova":
Infatti affinché un'applicazione tra spazi topologici $ f:X\to Y $ sia misurabile secondo Borel è necessario e sufficiente che, per ogni aperto $ A $ di $ Y $, \( f^{-1}(A) \) appartenga all'algebra di Borel $ \mathfrak{B}(X) $ di $ X $, vero (e quindi continuità implica sempre misurabilità secondo Borel)?
Sì, intendevo questo quando dicevo
"Plepp":
(e perché $ f $ è misurabile se e solo per ogni aperto $ U $ di $ CC $ si ha che $ f^-1(U) $ è misurabile)
"DavideGenova":
\( h(x,y)=x+iy \)
Sì scusami, mi ero perso una $i$
$\infty$ grazie!!!
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