F misurabile
Salve vorrei capire meglio questa proposizione:
"Se ${a
La f in questione va in $RR uu {+oo}$? Il $-oo$ va tolto? Perchè non ho ben capito l'osservazione del prof a lezione!
La dimostrazione si basa sul fatto che ${f=+oo}=({uuu_{n in NN} {-n
"Se ${a
La f in questione va in $RR uu {+oo}$? Il $-oo$ va tolto? Perchè non ho ben capito l'osservazione del prof a lezione!
La dimostrazione si basa sul fatto che ${f=+oo}=({uuu_{n in NN} {-n
Risposte
Penso che il teorema di cui parli reciti così:
Preso $X$ spazio misurabile, $m$ sigma algebra su X, $f :X \to [-\infty, +\infty] $ Allora
(1)$f$ è misurabile $\iff$ $f^-1((a,+\infty]) in m \quad \quad \forall a in\RR$
In modo analogo si dimostra che
Preso $X$ spazio misurabile, $m$ sigma algebra su X, $f :X \to [-\infty, +\infty] $ Allora
(2) $f$ è misurabile $\iff$ $f^-1([-\infty,a)) in m \quad \quad \forall a in\RR$
(3) $f$ è misurabile $\iff$ $f^-1( $[$a,+\infty$]$) in m \quad \quad \forall a in\RR$
(4) $f$ è misurabile $\iff$ $f^-1($[$-\infty,a$]$) in m \quad \quad \forall a in\RR$
A partire da questo teorema ci sono le varianti, forse vale anche quella detta da te (ma non sono sicurissimo):
Preso $X$ spazio misurabile, $m$ sigma algebra su X, $f :X \to [-\infty, +\infty] $ Allora
(4)$f$ è misurabile $\iff$ $f^-1($($a,+\infty$)$) in m \quad \quad \forall a in\RR$
si riesce invece sicuramente a dimostrare che
Preso $X$ spazio misurabile, $m$ sigma algebra su X, $f :X \to [-\infty, +\infty] $, $S$ sottoinsieme denso di $\RR$,Allora
(5)$f$ è misurabile $\iff$ $f^-1((a,+\infty]) in m \quad \quad \forall a inS$
Se ti interessa la dimostrazione del primo teorema, da cui poi conseguono tutte le altre proposizione posso provare a scrivertela ( perche non so se riesco a scriverla in Latex)
Se però prendi per dimostrata la prima proposizione e prendi in considerazione quello scritto da te $ {f=+oo}=({uuu_{n in NN} {-n
Se c'è qualcuno più esperto di me che confermi o corregga quello che ho detto sicuramente è ben accetto
Preso $X$ spazio misurabile, $m$ sigma algebra su X, $f :X \to [-\infty, +\infty] $ Allora
(1)$f$ è misurabile $\iff$ $f^-1((a,+\infty]) in m \quad \quad \forall a in\RR$
In modo analogo si dimostra che
Preso $X$ spazio misurabile, $m$ sigma algebra su X, $f :X \to [-\infty, +\infty] $ Allora
(2) $f$ è misurabile $\iff$ $f^-1([-\infty,a)) in m \quad \quad \forall a in\RR$
(3) $f$ è misurabile $\iff$ $f^-1( $[$a,+\infty$]$) in m \quad \quad \forall a in\RR$
(4) $f$ è misurabile $\iff$ $f^-1($[$-\infty,a$]$) in m \quad \quad \forall a in\RR$
A partire da questo teorema ci sono le varianti, forse vale anche quella detta da te (ma non sono sicurissimo):
Preso $X$ spazio misurabile, $m$ sigma algebra su X, $f :X \to [-\infty, +\infty] $ Allora
(4)$f$ è misurabile $\iff$ $f^-1($($a,+\infty$)$) in m \quad \quad \forall a in\RR$
si riesce invece sicuramente a dimostrare che
Preso $X$ spazio misurabile, $m$ sigma algebra su X, $f :X \to [-\infty, +\infty] $, $S$ sottoinsieme denso di $\RR$,Allora
(5)$f$ è misurabile $\iff$ $f^-1((a,+\infty]) in m \quad \quad \forall a inS$
Se ti interessa la dimostrazione del primo teorema, da cui poi conseguono tutte le altre proposizione posso provare a scrivertela ( perche non so se riesco a scriverla in Latex)
Se però prendi per dimostrata la prima proposizione e prendi in considerazione quello scritto da te $ {f=+oo}=({uuu_{n in NN} {-n
Se c'è qualcuno più esperto di me che confermi o corregga quello che ho detto sicuramente è ben accetto
Ho però un dubbio..
Se l'uguaglianza scritta da te è vera allora chiaramente si dimostra la proposizione (4)...
Ma sinceramente non so (se sotto le mie ipotesi) quell'uguaglianza sia vera; Anzi a me non lo sembra.
é invece sicuramente vera se f non assume valore - infinito (che puoi assumere come ipotesi, ma non mi sembra bello..)
Potrebbe essere che la funzione che consideri tu siano a valori in $\RR \U (\infty)$ (cioè prendendo la compattificazione di Alexandrof su R) ma sinceramente non so se è comune farlo...
Se l'uguaglianza scritta da te è vera allora chiaramente si dimostra la proposizione (4)...
Ma sinceramente non so (se sotto le mie ipotesi) quell'uguaglianza sia vera; Anzi a me non lo sembra.
é invece sicuramente vera se f non assume valore - infinito (che puoi assumere come ipotesi, ma non mi sembra bello..)
Potrebbe essere che la funzione che consideri tu siano a valori in $\RR \U (\infty)$ (cioè prendendo la compattificazione di Alexandrof su R) ma sinceramente non so se è comune farlo...
Grazie infinite @Wilde per avermi risposto!!
Allora esattamente..a me interessa dimostrare la (4) (la seconda che hai scritto!)
Come dici tu dall'uguaglianza che ho posto verrebbe da sola. Il problema è questo: ti pongo un controesempio.
Sia $f:[0,1]->[-oo,+oo]$, $V$ insieme di Vitali (non misurabile quindi) e $Vsub[0,1]$
$f(x)=\{(+oo if x in V), (-oo if x in [0,1]-V):}$
Allora ${a
Secondo me il problema sta nel codominio di f, andrebbe tolto $-oo$!
Allora esattamente..a me interessa dimostrare la (4) (la seconda che hai scritto!)
Come dici tu dall'uguaglianza che ho posto verrebbe da sola. Il problema è questo: ti pongo un controesempio.
Sia $f:[0,1]->[-oo,+oo]$, $V$ insieme di Vitali (non misurabile quindi) e $Vsub[0,1]$
$f(x)=\{(+oo if x in V), (-oo if x in [0,1]-V):}$
Allora ${a
Secondo me il problema sta nel codominio di f, andrebbe tolto $-oo$!
Esatto...io penso che quella uguaglianza sia vera solo se togliamo il valore $-oo$! Però volevo una conferma...non sono brava a vedere queste cose e tanto meno a dimostrarle 
Scusami ho modificato la mia ultima risposta...
Cmq si, secondo me hai ragione.
Cmq si, secondo me hai ragione.
Ecco allora siamo d'accordo su questa cosa 
! No di solito lavoriamo su funzioni che assumono valori in $RR uu {+oo,-oo}$, ma con questa proposizione il prof aveva fatto questa osservazione che a lezione non avevo capito bene e sul libro mon c'è! Grazie mille!! Adesso che siamo in due a pensarla così sono più sicura!! Grazie grazie grazie
! No di solito lavoriamo su funzioni che assumono valori in $RR uu {+oo,-oo}$, ma con questa proposizione il prof aveva fatto questa osservazione che a lezione non avevo capito bene e sul libro mon c'è! Grazie mille!! Adesso che siamo in due a pensarla così sono più sicura!! Grazie grazie grazie
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