\(f_{\lambda}(x)=sin\lambda x / \pi x\)

[5mrkv]

Vorrei capire come mai non è sommabile e perché come distribuzione (suppongo \(\lambda \in \mathbb{N}\))
\[
\langle f_{\lambda} ,\varphi \rangle \rightarrow \langle \delta , \varphi \rangle \mbox{ per } \lambda \rightarrow \infty
\]
A causa della parità, per lo studio della convergenza possiamo limitarci a considerare il secondo membro di
\[
\frac{1}{2}\int |f_{\lambda}(x)|\mbox{d}x=\int_{0}|f_{\lambda}(x)|\mbox{d}x
\]
Riassumendo dall'esercizio svolto
\[
\int_{0}|f(x)|\mbox{d}x
\geq
\lim_{n \to \infty}\sum_{1}^{n}\left|\int_{(n-1)\pi}^{n \pi}f(x)\mbox{d}x\right|
\geq
\sum_{1}^{n} \frac{2}{(n-1)\pi}
\]
ma non è chiara l'ultima disuguaglianza che dovrebbe seguire da quest'altra
\[
\left|\int_{(n-1)\pi}^{n \pi}\frac{\sin \lambda x}{\pi x}\mbox{d}x\right|
>
\frac{1}{(n-1)\pi}\int_{(n-1)\pi}^{n \pi}|\sin x|\mbox{d}x
=
\frac{2}{(n-1)\pi}
\]
Da li vedo che ha preso \(\inf x\) al denominatore e l'ha portato fuori ma più di così boh. Per quanto riguarda la convergenza in senso distribuzionale:

\(\mbox{Teo.}\) Consideriamo una successione di funzioni \(f_{m} \in L^{1}_{loc}\mathbb{R}\) e continue. Se vale che per ogni plurirettangolo \(D_{0}\)
\[
\sup_{D \subseteq D_{0}}\left|\int_{D}f_{m}\right|<\infty
\]
e che
\[
\lim_{n \to \infty}\int_{D}f_{n}
=
\begin{cases}
1 \mbox{ se } 0 \in D \\
0 \mbox{ se } 0 \not \in D \\
\end{cases}
\]
allora vale quanto scritto nella formula ad inizio post. Voglio riscrivere la precedente ponendo
\[
F_{n}(x)=\int_{A}^{x}f_{n}\mbox{d}x
\]
Allora dovrebbe seguire che:

\(\mbox{Teo.}\) Consideriamo una successione di funzioni \(f_{m} \in L^{1}_{loc}\mathbb{R}\) e continue. Se fissato \(A \in \mathbb{R}\) vale che
\[
\sup_{x>A}|F_n(x)|<\infty
\]
e che
\[
\lim_{n \to \infty}F_{n}(x)
=
\begin{cases}
1 \mbox{ se } 0 \in [A,x] \\
0 \mbox{ se } 0 \not \in [A,x] \\
\end{cases}
\]
allora vale quanto scritto nella formula ad inizio post.

Supponiamo \(A\) negativo. Per Lebesgue
\[
\lim_{n \to \infty}\int_{\mathbb{R}}F_{n}\varphi\mbox{d}x=
\int_{\mathbb{R}}\lim_{n \to \infty}F_{n}\varphi\mbox{d}x=
\int_{\mathbb{R}}\theta \varphi\mbox{d}x
\]
La prima segue dalla prima ipotesi, infatti posso passare il limite sotto il segno di integrale. La seconda segue dalla seconda ipotesi. Infatti se \(0 \in [A,x]\) allora \(x>0\) e quindi posso sostituire le condizioni su \([A,x]\) con le condizioni su \(x\). Derivando da entrambe le parti si dimostra il teorema (ed è qui che serve la continuità...).

Il problema è che mi sembra valga solamente per \(A<0\) perché per \(A>0\) non torna quel discorso sulla sostituzione della condizione in \(D\) con la condizione in \(x\) di \(D=[A,x]\). E' possibile che si dimostri prendendo una diversa funzione \(F(x)\)? Spero che sia noto come teorema. Da quello che vedo permette di dare la rappresentazione integrale della distribuzione \(\delta\) come
\[
f_{\lambda}(x)=\int_{-\lambda}^{\lambda}\frac{e^{i\xi x}}{2\pi}\mbox{d}\xi=\frac{1}{\pi}\frac{sin(\lambda x)}{x}\rightarrow{\delta}\mbox{ per }\lambda\rightarrow \infty
\]
e di calcolare ad esempio la trasformata di Fourier di \(x\) in un esercizio che prima non avevo capito. Tornando a \(f_{\lambda}\) ho capito perché vale la seconda ipotesi del problema ma non la prima. Dall'esercizio svolto si vuole mostrare che:
\begin{split}
& a_{n} =\int_{(n-1)\pi}^{n \pi}f(x)\mbox{d}x\\
& | \sum_{1}^{n}a_{k}|<|a_{1}| \\
\end{split}
partendo da
\[
a_{k}=
\int_{(k-1)\pi}^{k \pi}\frac{\sin x}{x}\mbox{d}x=
-\int_{(k-2)\pi}^{(k-1)\pi}\frac{\sin x}{x+\pi}\mbox{d}x
\]
Ora vedo che è stato fatto un cambio di variabile \(x\rightarrow x+\pi\) . Scriverei
\[
-\int_{(k-2)\pi}^{(k-1)\pi}\frac{\sin x}{x+\pi}\mbox{d}x <
-\int_{(k-2)\pi}^{(k-1)\pi}\frac{\sin x}{x}\mbox{d}x
\]
Per poter dire \(|a_{k+1}|<|a_{k}|\). Nell'esercizio segue \(|a_{1}+a_{2}|<|a_{1}|\) ma al momento non vedo perché. Viene da questa disuguaglianza o devo tornare a guardare l'integrale?

[5mrkv]

Facciamo così. Qualcuno sa darmi un riferimento:

\(1.\) bibliografico al teorema in quote?
\(2.\) alla non sommabilità della funzione nel titolo?