$f$ integrabile, $\varphi$ continua$\Rightarrowf\cdot\varphi$ integrabile?

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Se $f$ è integrabile, secondo Riemann, in un dato intervallo e \(\varphi\) è continua (o almeno derivabile, o almeno infinitamente derivabile), mi sembra di capire che anche la funzione definita da \(f(x)\varphi(x)\) sia integrabile.
È così? Se sì, come si può dimostrare?

Il contesto in cui trovo tacitamente assunto questo fatto è quello della teoria delle distribuzioni, per cui se \(\varphi\) è una funzione finita di classe $C^\infty(\mathbb{R})$ e $f$ è integrabile su ogni intervallo reale, allora esiste (o almeno così evinco dal Kolmogorov-Fomin alle pp. 201-202) il funzionale $\varphi\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)dx$.
$+\infty$ grazie a tutti!

[Emar1]

Attenzione! Le \(\varphi\) sono funzioni continue a supporto compatto, ovvero che si annullano all'esterno di un certo intervallo. Nel caso di una funzione continua e basta non possiamo dire molto su quel prodotto, potrebbe benissimo divergere.

[DavideGenova1]

Grazie, Emar, per l'appunto! Sì, sì, non so quanto sia standard tale terminologia, ma dal Kolmogorov-Fomin ho imparato a chiamare funzioni finite le funzioni continue nulle al di fuori di un intervallo finito.

[Emar1]

Ah già! Quindi, ripeto meglio perché forse non era troppo chiara la risposta, è proprio la proprietà di essere nulle al di fuori di un certo intervallo che fa sempre convergere l'integrale, la continuità non basta.

[DavideGenova1]

Abbi pazienza, Emar: ciò che non mi è chiaro è come si possa sapere che l'integrale $\int_a^b f(x)\varphi(x)dx$ esiste su un intervallo limitato. Se entrambe fossero continue, so che il prodotto è una funzione continua e quindi è integrabile secondo Riemann, ma qui so solo che $f$ è integrabile e non so se e perché il prodotto di funzioni integrabili sia integrabile... Grazie di cuore ancora!

[Emar1]

Sai, mi stai facendo venire il dubbio, al momento direi che è necessaria anche la limitatezza della funzione test \(\varphi\)... Purtroppo devo ancora trattare per bene l'integrazione. Aspettiamo qualche "pro"

[DavideGenova1]

Grazie ancora!!! $\varphi$ è limitata perché continua su un intervallo chiuso finito e nulla altrove. Tuttavia non saprei se il prodotto delle due funzioni integrabili, cioè $f\cdot\varphi$ sia a sua volta integrabile...

[dissonance]

No, chiaramente no. Ma non è un problema di misurabilità, naturalmente, il problema è che l'integrale del prodotto potrebbe non convergere assolutamente. Mi sorprende che dopo tutto questo Kolmogorov Fomin tu non abbia ancora incontrato la "disuguaglianza di Hölder", il trucco principale che si usa per trattare la questione.

[Rigel1]

"DavideGenova":Se $f$ è integrabile, secondo Riemann, in un dato intervallo e \(\varphi\) è continua (o almeno derivabile, o almeno infinitamente derivabile), mi sembra di capire che anche la funzione definita da \(f(x)\varphi(x)\) sia integrabile.
È così? Se sì, come si può dimostrare?

Non ho seguito bene tutte le altre questioni; mi limito a rispondere a questa domanda.
E' sufficiente utilizzare il seguente criterio di integrabilità (cf. Rudin, Principles, Thm. 11.33):

Sia \(g:[a,b]\to\mathbb{R}\) una funzione limitata. Allora \(g\) è Riemann-integrabile su \([a,b]\) se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura (di Lebesgue) nulla.

A questo punto la questione si risolve facilmente.
Poiché \(f\) è Riemann-integrabile, allora è limitata e l'insieme \(D\subset [a,b]\) dei suoi punti di discontinuità ha misura nulla. Ma allora anche la funzione \(g := f \cdot \varphi\) è limitata, e ha il medesimo insieme \(D\) di punti di discontinuità; di conseguenza è Riemann-integrabile.

P.S.: mi sembra strano che il Kolmogorov-Fomin utilizzi funzioni Riemann-integrabili e non Lebesgue-integrabili...

[DavideGenova1]

@dissonance: conosco la disuguaglianza di Hölder, che il Kolmogorov-Fomin tratta, per cui $\int_I| f(x)\varphi(x)|dx\leq(\int_I| f(x)|dx)(\int_I| \varphi(x)|dx)$, se tali integrali esistono, ma non ho mai trovato trattata l'integrabilità di un prodotto di funzioni integrabili, né integrabili assolutamente.

@Rigel: mi sono accorto adesso che mi hai risposto mentre scrivevo. Interessantissimo questo teorema! Sono stato in grado di (credere di) capirne la dimostrazione persino io, usando il teorema di Beppo Levi, che conoscevo dai miei studi sul Kolmogorov-Fomin. Me lo sono segnato a matita sia sul K-F, sia sul libro di analisi "1". Mi ci farei fare un tatuaggio. Il Kolmogorov-Fomin introduce le distribuzioni molto prima di aver trattato l'integrazione secondo Lebesgue, quindi suppongo che si riferisca a quella secondo Riemann quando definisce questo tipo di funzionali. Tuttavia spesso non è affatto semplice capire di che cosa stia parlando questo testo, che usa un linguaggio molte volte informale, lasciando molti sottintesi, restringendosi ad ipotesi particolari senza specificarlo: per esempio nei capitoli che sto affrontando sull'integrazione e la teoria della misura, nonostante siano decisamente più chiari di quelli sugli spazi topologici e gli operatori lineari, sembra spesso intendere una proprietà valida per funzioni $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, per cui si intendono valere le definizioni generali, poi ci si accorge che sta trattando il solo caso $f:[a,b]\to\mathbb{C}$, ma poi emerge che stava assumendo $f:[a,b]\to\mathbb{R}$, per poi portare esempi di proprietà valide per $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ o $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, ma il tutto senza dire esplicitamente "questo vale per queste", "quest'altro vale per queste altre".

Sì, sono masochista a voler seguire questo libro, ma ne avevo visto scrivere tanto bene... Tuttavia cambiare testo adesso implicherebbe per me aver perso del tempo, perché non sono capace di fare come mi consigli tu, dissonance, grasshopping tra una fonte e l'altra. Me ne accorgo quando cerco chiarimenti in altri testi, cosa che oltretutto faccio spessissimo come ho fatto adesso con il Rudin, ma è direi di norma rimandare, spesso, oltretutto, tacitamente, a teoremi dimostrati in precedenza nel libro, quindi trovo tutto sommato meno dispersivo, al mio livello in cui devo assimilare conoscenze basiche, leggere un libro intero dall'inizio accumulando quel patrimonio di concetti necessari per comprendere i teoremi che via via si dimostrano che disperarmi a cercare qui e là spiegazioni senza magari neanche sapere dove trovarle. Questa cosa mi è saltata agli occhi per esempio quando, cominciando il VI capitolo del K-F, ho trovato scritto che "ogni funzione sommabile è la differenza di due funzioni sommabili non negative [[size=85]si noti che, pur riferendosi il K-F di norma a funzioni sia reali sia complesse, non si specifica se questo assunto valga per funzioni reali o complesse: anche se è più che banalmente straovvio che vale solo per funzioni reali, se ad un esame o in una tesi non si specificasse di che cosa si sta parlando dubito che si prenderebbe il massimo dei voti[/size]]: \(f(t)=f_{+}(t)-f_{-}(t)\)": se non avessi letto alcune pagine prima la spiegazione di queste notazioni credo che mi sarei messo a cercare alla cieca chissà dove. E l'utilizzo massiccio di risultati, notazioni e quant'altro introdotti in precedenza nel libro non mi sembra affatto confinato ai testi che ho usato io finora...

$\infty$ grazie a tutti ancora!

[axpgn]

"DavideGenova":

... quindi trovo tutto sommato meno dispersivo, al mio livello in cui devo assimilare conoscenze basiche, leggere un libro intero dall'inizio accumulando quel patrimonio di concetti necessari per comprendere i teoremi che via via si dimostrano che disperarmi a cercare qui e là spiegazioni senza magari neanche sapere dove trovarle.

[ot]Ma non è quello che fai qua?
Non fraintendermi, non ho nessun intento polemico, capisco quello che intendi ma se fossi al tuo posto allora mi leggerei tutto il libro prendendolo per buono (visto che parli di "... assimilare conoscenze basiche ...") e poi approfondirei (se interessato ...); lo troverei meno dispersivo.
IMHO ... e auguri ... [/ot]

Cordialmente, Alex

[DavideGenova1]

"axpgn":mi leggerei tutto il libro prendendolo per buono (visto che parli di "... assimilare conoscenze basiche ...")

Grazie per l'intervento! Non è che non lo prenda per buono, ma a me piace dimostrare a me stesso ogni enunciato non dimostrato che trovo utilizzato per dimostrare i teoremi che trovo in un libro che sto studiando e, se si tratta di cose non troppo al di là del livello da me raggiunto al momento, anche di quegli enunciati che non vengono più utilizzati in seguito, ma che comunque stuzzicano il mio interesse e la mia curiosità. Oltretutto capire la dimostrazione di un teorema basata sull'utilizzo di un lemma di cui ignoro la dimostrazione equivale per me a non aver capito affatto quel teorema.

[axpgn]

"DavideGenova":

... ma a me piace dimostrare a me stesso ogni enunciato non dimostrato che trovo utilizzato per dimostrare i teoremi ...

[ot]Benissimo, ma allora perché leggi quel libro ? Ti costringi a cercare sempre "altrove" quello che vuoi sapere ...
Come vedi è un cane che si morde la coda ...
O lo prendi così com'è e approfondisci poi o cambi libro e vai su uno dove tutto (o quasi) è dimostrato (ma non credo che siano poi tanti, soprattutto più si avanza nella conoscenza...)
Altrimenti, a mio parere, il tuo rendimento ne patisce, non ottimizzi le tue risorse e sprechi energie ...[/ot]

Cordialmente, Alex