$f \in C^1(I) => f $è lipschtziana
$ <= M |x_2-x_1| $Salve ragazzi, ho la provare oppure confutare il seguente teorema :
Sia $I$ un intervallo di $RR$.
$f : I -> RR$ , $f \in C^1(I)$ allora $f$ è lipschtziana.
Premetto il seguente
lemma Sia $f : I -> RR$. $I $ intervallo .
Supponiamo che $f$ sia derivabile nell'aperto di $I$ , che indico con $\dot(I)$.
Vale la seguente :
$f' $ limitata $=>$ $f$ lipchtziana
dim lemma
Per ipotesi , $f'$ è limitata e quindi $EE M> 0 t.c AA x in \dot(I) : |f'(x)|<=M$ (1)
Siano $x_1,x_2$ due punti qualsiasi di $I$. E consideriamo la restrizione di $f$ all'intervallo $[x_1,x_2]$.
Poiché vale il teorema di Lagrange , $EE x_0 \in ]x_1,x_2[ tale che f'(x_0)=(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)$
Si ha dunque che $|f(x_2)-f(x_1)| = |f(x_0)||x_2-x_1|${per la (1) }$ <= M |x_2-x_1|$. Poiché $x_1,x_2$ sono arbitrari , si ha che $f$ è lipschtziana.
dim th
(premetto che il teorema sia meno generale del lemma.. a meno di sviste, infatti penso che non valga per $I$ intervalli non chiusi e limitati )
Se $I$ è chiuso e limitato. Poiché $f$ è $C^1(I)$ si ha che $f'$ è continua in $I$. Ma $I$ è chiuso e limitato , pertanto per Weirstrass si ha che $f'$ ha massimo e minimo e quindi $f'$ è limitata, dunque per il lemma si ha la tesi.
Se $I$ non è chiuso e limitato il teorema sembra non valere.
Controesempio :
Consideriamo
$f :]0,1[-RR$ , tale che $f(x)=1/x$. $f$ è continua in $I=]0,1[$ e a sua volta ha derivata continua in $I$ , cioè è $C^1$, tuttavia , in $]0,1[$ f non è uniformemente continua, quindi non può essere lip.
Sbaglio in qualcosa? Grazie mille.
Sia $I$ un intervallo di $RR$.
$f : I -> RR$ , $f \in C^1(I)$ allora $f$ è lipschtziana.
Premetto il seguente
lemma Sia $f : I -> RR$. $I $ intervallo .
Supponiamo che $f$ sia derivabile nell'aperto di $I$ , che indico con $\dot(I)$.
Vale la seguente :
$f' $ limitata $=>$ $f$ lipchtziana
dim lemma
Per ipotesi , $f'$ è limitata e quindi $EE M> 0 t.c AA x in \dot(I) : |f'(x)|<=M$ (1)
Siano $x_1,x_2$ due punti qualsiasi di $I$. E consideriamo la restrizione di $f$ all'intervallo $[x_1,x_2]$.
Poiché vale il teorema di Lagrange , $EE x_0 \in ]x_1,x_2[ tale che f'(x_0)=(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)$
Si ha dunque che $|f(x_2)-f(x_1)| = |f(x_0)||x_2-x_1|${per la (1) }$ <= M |x_2-x_1|$. Poiché $x_1,x_2$ sono arbitrari , si ha che $f$ è lipschtziana.
dim th
(premetto che il teorema sia meno generale del lemma.. a meno di sviste, infatti penso che non valga per $I$ intervalli non chiusi e limitati )
Se $I$ è chiuso e limitato. Poiché $f$ è $C^1(I)$ si ha che $f'$ è continua in $I$. Ma $I$ è chiuso e limitato , pertanto per Weirstrass si ha che $f'$ ha massimo e minimo e quindi $f'$ è limitata, dunque per il lemma si ha la tesi.
Se $I$ non è chiuso e limitato il teorema sembra non valere.
Controesempio :
Consideriamo
$f :]0,1[-RR$ , tale che $f(x)=1/x$. $f$ è continua in $I=]0,1[$ e a sua volta ha derivata continua in $I$ , cioè è $C^1$, tuttavia , in $]0,1[$ f non è uniformemente continua, quindi non può essere lip.
Sbaglio in qualcosa? Grazie mille.
Risposte
Hai visto giusto, perché nelle ipotesi poste il lemma è falso.
Infatti, se \(I\) non è compatto, il \(|f^\prime|\) (che è continuo) non è tenuto ad avere massimo.
La cosa però rimane vera su un intervallo qualsiasi se assumi che \(f^\prime\) sia limitata.
Infatti, se \(I\) non è compatto, il \(|f^\prime|\) (che è continuo) non è tenuto ad avere massimo.
La cosa però rimane vera su un intervallo qualsiasi se assumi che \(f^\prime\) sia limitata.
"gugo82":
La cosa però rimane vera su un intervallo qualsiasi se assumi che \(f^\prime\) sia limitata.
@Kashaman: ...ed è questo che aveva detto la prof
non aveva parlato di intervalli "a muzzo".P.S.: nella dim. del lemma mi sa che ti manca la continuità in $I$ per utilizzare Lagrange (tu hai solo parlato di derivabilità in $I^\circ$).
grazie mille a entrambi. Si scusa, mia dimenticanza.
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