F e' costante

[dennysmathprof]

se f continua a R e [tex]\int_{x}^{x+1}f(t)dt=\cfrac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{x}[/tex]

dimostrate che f e' costante

ho fatto [tex]f(x+1)-f(x)=\cfrac{f(x)x-\int_{0}^{x}f(t)dt}{x^2}[/tex] oppure [tex]F(x+1)-F(x)=F(x)/x

\cfrac{F(x+1)-F(x)}{x+1-x}=\cfrac{F(x)-F(0)}{x-0}[/tex].....Lagrance ma .....

[Rigel1]

Non sono sicuro che l'enunciato sia vero. Considera, ad esempio
\[
f(x) = 2\pi x \cos(2\pi x) + \sin(2\pi x),
\]
che ha funzione integrale
\[
F(x) := \int_0^x f(t) dt = x\, \sin(2\pi x).
\]

[lordb]

Ciao,
mi pare che anche $f:RR->RR,x->|sin(pi*x)|$ soddisfi le richieste....

[Rigel1]

Qualsiasi funzione tale che \(x\mapsto\frac{F(x)}{x}\) sia \(1\)-periodica soddisfa le richieste (con l'accorgimento di prendere \(f\) continua con \(f(0) = 0\) in modo tale che quella funzione si possa estendere a \(0\) con continuità nell'origine).

[lordb]

Sì esatto, concordo appieno.

[gugo82]

Come detto da Rigel e lordb, l'unica cosa che si può dire con certezza di \(F(x):=\int_0^x f(t)\ \text{d} t\), a quanto pare, è che il suo valore è completamente determinato dai valori che essa assume in \([0,1[\); a questa conclusione di può arrivare per mezzo di una simpatica formula.

Infatti, se \(x\in \mathbb{R}\) ed \(n\in \mathbb{N}\), allora:
\[
F(x+n)-F(x+n-1)=\frac{1}{x+n-1}\ F(x+n-1)\qquad \Rightarrow \qquad F(x+n+1)=\frac{x+n}{x+n-1}\ F(x+n-1)
\]
e ciò importa:
\[
\begin{split}
F(x+n) &=\frac{x+n}{\cancel{x+n-1}}\ \frac{\cancel{x+n-1}}{x+n-2}\ F(x+n-2)\\
&=\frac{x+n}{\cancel{x+n-2}}\ \frac{\cancel{x+n-2}}{x+n-3}\ F(x+n-3) \\
&= \cdots \\
&= \frac{x+n}{\cancel{x+1}}\ \frac{\cancel{x+1}}{x}\ F(x)
\end{split}
\]
sicché vale la ricorrenza:
\[
\tag{1}
F(x+n) = \frac{x+n}{x}\ F(x)\; .
\]
Analogamente se \(m=-n\) è un intero negativo, si ha:
\[
F(x)=F(x+m-m)=F((x+m)+n)=\frac{(x+m)+n}{x+m}\ F(x+m)\qquad \Rightarrow \qquad F(x+m)=\frac{x+m}{x}\ F(x)
\]
cosicché (1) vale anche per gli interi negativi.
(Ovviamente si dovrebbe stare un po' più attenti in \(0\), ma la funzione \(1/x\ F(x)\) si prolunga in ogni caso per continuità su tale punto... Quindi si può stare tranquilli.)

Dette \([\cdot]\) e \(\{\cdot \}\) la parte intera e quella frazionaria, dalla (1) discende immediatamente che:
\[
\tag{2}
F(x)=\frac{x}{\{x\}}\ F(\{x\})\; ,
\]
perché:
\[
F(x)=F(\{ x\}+[x])=\frac{\{x\}+[x]}{\{x\}}\ F(\{x\})=\frac{x}{\{x\}}\ F(\{x\})\; .
\]
Ciò giustifica quanto affermato circa la dipendenza di \(F\) dai soli valori assunti in \([0,1[\), ovverosia la periodicità della funzione \(\frac{1}{x}\ F(x)\).

Un'altra cosa che si può dire è che la \(f\) deve soddisfare la condizione:
\[
\int_0^1 f(t)\ \text{d} t = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\ \int_0^x f(t)\ \text{d} t \stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x\to 0} f(x) = f(0)\; ,
\]
cioè la media integrale di \(f\) su \([0,1]\) deve coincidere col valore assunto in \(0\).
Mi pare che questo contrasti col controesempio riportato sopra da lordb...

Nel controesempio di Rigello (che è corretto), però, la \(f\) non è limitata.
Non è che si possono salvare capra e cavoli aggiungendo alle ipotesi che \(f\) sia limitata?
In altre parole, non è che vale:
\[
\left. \begin{split}
&f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \text{ continua e limitata}\\
&\int_x^{x+1} f(t)\ \text{d} t = \frac{1}{x}\ \int_0^x f(t)\ \text{d} t \quad \text{ per ogni } x\in \mathbb{R}
\end{split} \right\} \qquad \Rightarrow \qquad f \text{ è costante?}
\]

[lordb]

Già, d'altronde non ci avevo ragionato troppo su.

Se non sbaglio la mia funzione soddisfa l'uguaglianza in tutto $RR^**$o sbaglio ?