F differenziabile n volte e $ (f in C^(n)(I) $

[obelix23]

scusate la domanda stupida ma è la stessa cosa se scrivo f differenziabile n volte in I e $ f in C^(n)(I) $??grazie

[Principe2]

si

[obelix23]

grazie era un dubbio che avevo

[Rigel1]

In realtà c'è una differenza: con \(f\in C^n(I)\) si intende una funzione derivabile \(n\) volte e con derivata \(n\)-esima continua.
Se si chiede solo che \(f\) sia derivabile \(n\) volte in \(I\), allora \(f\) ha certamente le prime \(n-1\) derivate continue, ma non è detto che sia continua anche l'\(n\)-esima.

[Principe2]

"Rigel":In realtà c'è una differenza: con \(f\in C^n(I)\) si intende una funzione derivabile \(n\) volte e con derivata \(n\)-esima continua.
Se si chiede solo che \(f\) sia derivabile \(n\) volte in \(I\), allora \(f\) ha certamente le prime \(n-1\) derivate continue, ma non è detto che sia continua anche l'\(n\)-esima.

Uhm... hai ragione! Anche se mi ha sempre infastidito questa cosa, visto che a questo punto uno sarebbe tentato di dire che $|x|$ e' derivabile, visto che la "derivata" esiste, ma non e' continua...

[Rigel1]

"Valerio Capraro":Uhm... hai ragione! Anche se mi ha sempre infastidito questa cosa, visto che a questo punto uno sarebbe tentato di dire che $|x|$ e' derivabile, visto che la "derivata" esiste, ma non e' continua...

Beh, non è derivabile nel suo dominio naturale (che è tutto \(\mathbb{R}\)).

[Principe2]

"Rigel":[quote="Valerio Capraro"]
Beh, non è derivabile nel suo dominio naturale (che è tutto \(\mathbb{R}\)).

[/quote]
Beh, allora io a questo punto divento curioso di vedere un esempio di funzione derivabile la cui derivata non e' continua.
Voglio dire, per creare una discontinuita' di salto, serve che la derivata destra sia diversa da quella sinistra, ma se tu mi dici che questa non e' derivabile... allora come facciamo?

[Rigel1]

Una derivata non può avere discontinuità di tipo salto, dal momento che soddisfa la proprietà di Darboux.
Ciò non toglie che possa avere discontinuità di seconda specie; un esempio classico è la funzione
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin(1/x), & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, & \text{se}\ x= 0,
\end{cases}
\]
che risulta definita e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), ma ha derivata discontinua nell'origine.

[Principe2]

"Rigel":Una derivata non può avere discontinuità di tipo salto, dal momento che soddisfa la proprietà di Darboux.
Ciò non toglie che possa avere discontinuità di seconda specie; un esempio classico è la funzione
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin(1/x), & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, & \text{se}\ x= 0,
\end{cases}
\]
che risulta definita e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), ma ha derivata discontinua nell'origine.

Incredibile!! Calcolando la derivata con la definizione viene $0$, ma facendo la derivata per $x\neq0$ e poi passando al limite rimane un $cos(\frac{1}{x})$ che fa un casino!

Sono lieto di rendermi conto che con un dottorato di ricerca non sapevo questa cosa!
E sono contento di averla finalmente chiarita. Grazie!

P.s. credo che questo esempio dovrebbe essere sottolineato agli studenti.