F. convesse
Una funzione convessa è del tipo f(x) = (Ax,x) con A semi-definita positiva
ma riuscite a farmi un esempio di f(x) = (Ax,x) ? non riesco bene a capire questa cosa.... riuscireste a farmi un esempio pratico?? Grazie mille
ma riuscite a farmi un esempio di f(x) = (Ax,x) ? non riesco bene a capire questa cosa.... riuscireste a farmi un esempio pratico?? Grazie mille
Risposte
ma ad esempio $f(x_1;x_2;x_3,x_4):= (x_1-x_2)^2+(x_3+x_4)^2$ la puoi scrivere come $ \langle AX,X \rangle:$
$$
\left\langle \left(\begin{matrix} 1 &-1 &0&0 \\-1 & 1 &0&0\\0&0&1&1 \\0&0&1&1 \end{matrix}\right)X,X \right\rangle .
$$
$$
\left\langle \left(\begin{matrix} 1 &-1 &0&0 \\-1 & 1 &0&0\\0&0&1&1 \\0&0&1&1 \end{matrix}\right)X,X \right\rangle .
$$
e come faccio a riconoscerle subito?
Si dice forma quadratica nelle variabili $x_1,x_2, . . . , x_n$ un qualunque polinomio omogeneo di secondo grado nelle variabili $x_1,x_2, . . . , x_n.$ Un polinomio $P,$ di variabili $x_1,x_2, . . . , x_n$ è omogeneo di secondo grado se risulta $$P(\alpha x_1,\alpha x_2, . . . , \alpha x_n)=\alpha P( x_1,x_2, . . . , x_n).$$
In pratica in un tale polinomio compaiono soltanto i termini del $a_{ij}x_ix_j,$ con $i, j\in\{1, 2, . . . , n\}.$ Detto a parole, è un polinomio di secondo grado e tutti i monomi in esso presenti sono di secondo grado (non ci sono monomi di primo grado o costanti) Posto $X = (x_1,x_2, . . . , x_n),$ una forma quadratica si può scrivere come
\begin{align}
Q(X)=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j.
\end{align}
Si può verificare facilmente che, usando una scrittura vettoriale/matriciale, possiamo più sinteticamente scrivere
\begin{align}
Q(X)= \left \langle AX,X\right \rangle,
\end{align}
dove $A$ è la matrice dei coefficienti $a_ij$ e il simbolo $ \langle \cdot,\cdot \rangle$ indica come sempre il prodotto interno in $\R^n.$ Una forma di scrittura alternativa alla $ \langle AX;X \rangle $ è $X^{T}AX,$ prodotto cioè il prodotto (righe per colonne) del vettore riga $X,$ la matrice $A$ e il vettore colonna $X^T.$ Una forma quadratica è quindi una particolare funzione $Q : \R^n\to\R $ di $n$ variabili a valori reali.
Infine si verifica facilmente che si può sempre scrivere una forma quadratica usando una matrice simmetrica.
In pratica in un tale polinomio compaiono soltanto i termini del $a_{ij}x_ix_j,$ con $i, j\in\{1, 2, . . . , n\}.$ Detto a parole, è un polinomio di secondo grado e tutti i monomi in esso presenti sono di secondo grado (non ci sono monomi di primo grado o costanti) Posto $X = (x_1,x_2, . . . , x_n),$ una forma quadratica si può scrivere come
\begin{align}
Q(X)=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j.
\end{align}
Si può verificare facilmente che, usando una scrittura vettoriale/matriciale, possiamo più sinteticamente scrivere
\begin{align}
Q(X)= \left \langle AX,X\right \rangle,
\end{align}
dove $A$ è la matrice dei coefficienti $a_ij$ e il simbolo $ \langle \cdot,\cdot \rangle$ indica come sempre il prodotto interno in $\R^n.$ Una forma di scrittura alternativa alla $ \langle AX;X \rangle $ è $X^{T}AX,$ prodotto cioè il prodotto (righe per colonne) del vettore riga $X,$ la matrice $A$ e il vettore colonna $X^T.$ Una forma quadratica è quindi una particolare funzione $Q : \R^n\to\R $ di $n$ variabili a valori reali.
Infine si verifica facilmente che si può sempre scrivere una forma quadratica usando una matrice simmetrica.
ah molte grazie !!! Veramente gentilissimo!!
mi è venuto un ulteriore dubbio , ma se f è di classe C^2 ed è definita su un convesso allora se la matrice Hessiana è semi-definita positiva in ogni punto allora f è convessa ,
ma la matrice della forma quadratica è sempre la matrice Hessiana?
ma la matrice della forma quadratica è sempre la matrice Hessiana?
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