F continua => insieme aperto

[giocind_88]

Buongiorno a tutti. Scusate, molto gentilmente potrei conoscere perchè se abbiamo UNA FUNZIONE f CONTINUA (f con dominio X e un certo codominio (ad esempio il campo dei numeri complessi) ), allora ad esempio l'insieme delle x per cui f(x) > c, con una c costante, risulta un insieme aperto della topologia? Andando avanti nello studio ho trovato alcuni casi simili e non riesco a capire perchè si tratta di un insieme aperto . GRAZIE TANTE ANTICIPATAMENTE.

[Seneca1]

La definizione di continuità che si da per una funzione $f : X -> Y$, con $X, Y$ spazi topologici, è la seguente: $f$ si dice continua se controimmagini di aperti (in $Y$) sono aperte (in $X$).


Se prendi $Y = \RR$ (il campo complesso non va bene) allora $]c , + \infty[ \subset Y$ è aperto; se $f : X -> \RR$ è continua hai che $f^{-1}(]c , + \infty[) = \{ x \in X | f(x) > c \}$ è aperto in $X$.

[Sk_Anonymous]

"gi88":[...] cui f(x) > c, con una c costante [...]

Se il codominio di \(f\) è \(\mathbb{C}\), la disuguaglianza citata è priva di significato. \(\mathbb{C}\) non è un campo ordinato.

[giocind_88]

Buongiorno . GRAZIE MILLE AD ENTRAMBI. Sì, infatti il campo dei numeri complessi non è ordinato e quindi la disuguaglianza sopra citata non ha significato, però mi trovo nel caso di FUNZIONE CONTINUA A SUPPORTO COMPATTO che sul materiale da cui sto studiando è definita con dominio X (spazio topologico, di Hausdorff) e codominio il campo dei numeri complessi .. Dovrei considerare NECESSARIAMENTE la "restrizione" del codominio all'insieme dei numeri reali? GRAZIE MILLE.