$f: \CC \to \CC$ intera $=>$ assume valori reali?
Buongiorno a tutti,
vi sottopongo una domanda che mi sono posto da solo (ma sono sicuro di averla già vista, magari in altra forma, da qualche parte); ovviamente (
), non ho ancora trovato risposta.
Prendiamo $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ intera (cioè olomorfa su tutto $\mathbb{C}$), non costante.
Posso concludere che esiste $z \in \CC$ tale che \(\displaystyle f(z) \in \mathbb{R} \)?
Qualche idea, please?
Grazie.
vi sottopongo una domanda che mi sono posto da solo (ma sono sicuro di averla già vista, magari in altra forma, da qualche parte); ovviamente (
), non ho ancora trovato risposta.Prendiamo $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ intera (cioè olomorfa su tutto $\mathbb{C}$), non costante.
Posso concludere che esiste $z \in \CC$ tale che \(\displaystyle f(z) \in \mathbb{R} \)?
Qualche idea, please?
Grazie.
Risposte
L'analisi complessa non è certo il mio forte, ma così ad occhio io ragionerei sulla funzione $g(z) = f(1/z)$ che, se $f$ non è costante, avrà una singolarità essenziale in $z= 0$.
Grazie, Rigel, per la risposta. Purtroppo non ho ancora studiato la parte sui poli, zeri, residui etc, quindi mi manca la definizione di singolarità essenziale.
Però, fammi capire: l'idea è che se quella funzione lì ha una singolarità in $z=0$ allora non può essere derivabile (in senso complesso) in $z=0$, giusto?
Inoltre, un piccolo rilancio: supponiamo di aver provato che esiste uno $z \in CC$ per cui $f(z)$ è reale (e mi pare di capire che anche tu credi sia vero).
Che cosa si può dire dell'insieme [tex]\{ z \in \mathbb{C} : \Im f(z) = 0 \}[/tex]?
Però, fammi capire: l'idea è che se quella funzione lì ha una singolarità in $z=0$ allora non può essere derivabile (in senso complesso) in $z=0$, giusto?
Inoltre, un piccolo rilancio: supponiamo di aver provato che esiste uno $z \in CC$ per cui $f(z)$ è reale (e mi pare di capire che anche tu credi sia vero).
Che cosa si può dire dell'insieme [tex]\{ z \in \mathbb{C} : \Im f(z) = 0 \}[/tex]?
Quello che succede te lo dice il (grande) teorema di Picard:
se $g$ è olomorfa in $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ e ha una singolarità essenziale in $0$, allora per ogni intorno $U$ di $0$ hai che $g(U\setminus\{0\})$ è tutto $\mathbb{C}$ con l'eccezione di al più un punto.
se $g$ è olomorfa in $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ e ha una singolarità essenziale in $0$, allora per ogni intorno $U$ di $0$ hai che $g(U\setminus\{0\})$ è tutto $\mathbb{C}$ con l'eccezione di al più un punto.
Picard! Certo Rigel che ne sai una più del diavolo 
Non conoscevo questo risultato, lo vedo adesso sul Rudin; in pratica, come dicono sia Rudin sia Lang, se esistono due numeri complessi che non appartengono all'immagine di $CC$ mediante una funzione intera $f$, allora $f$ è costante.
E questo basta a chiudere allegramente il problema.
Confesso che mi aspettavo una roba un po' più elementare...
A volte dovrei farmi meno domande
Non conoscevo questo risultato, lo vedo adesso sul Rudin; in pratica, come dicono sia Rudin sia Lang, se esistono due numeri complessi che non appartengono all'immagine di $CC$ mediante una funzione intera $f$, allora $f$ è costante.
E questo basta a chiudere allegramente il problema.
Confesso che mi aspettavo una roba un po' più elementare...
A volte dovrei farmi meno domande
Ci sono teoremi simili a quello di Picard sul libro di Ahlfors Complex Analysis (lo scrivo a memoria).
Ci ho pensato un po' su e forse c'è una via elementare, senza ricorrere a big Picard (che per me ora è un po' troppo).
Riparto da quello che avevo detto sopra: voglio usare Liouville.
Se per assurdo, la \(\displaystyle \Im f(z) \ne 0 \), per ogni $ z \in \CC$, allora la \(\displaystyle \Im f(z) \) avrebbe segno costante (se $f$ è olomorfa, \(\displaystyle \Im f(z) \) è continua). Supponiamo che \(\displaystyle \Im f(z)>0 \) su tutto $\CC$. Allora [tex]\vert f(z)+i \vert > \Im{(f(z)+i)} = 0+1=1[/tex], e quindi [tex]\left \vert \frac{1}{f(z)+i} \right \vert <1[/tex], cioè [tex]\frac{1}{f(z)+i}[/tex] è limitata su $CC$. D'altra parte è pure intera, perchè l'unico punto in cui potrebbe dare problemi è quando $f(z)=-i$, cosa impossibile per l'assunzione \(\displaystyle \Im f(z)>0 \). Allora per Liouville sarebbe costante, il che è assurdo perchè allora lo sarebbe anche $f$.
Che dite? Vi convince?
Una conferma è gentilmente gradita.
Riparto da quello che avevo detto sopra: voglio usare Liouville.
Se per assurdo, la \(\displaystyle \Im f(z) \ne 0 \), per ogni $ z \in \CC$, allora la \(\displaystyle \Im f(z) \) avrebbe segno costante (se $f$ è olomorfa, \(\displaystyle \Im f(z) \) è continua). Supponiamo che \(\displaystyle \Im f(z)>0 \) su tutto $\CC$. Allora [tex]\vert f(z)+i \vert > \Im{(f(z)+i)} = 0+1=1[/tex], e quindi [tex]\left \vert \frac{1}{f(z)+i} \right \vert <1[/tex], cioè [tex]\frac{1}{f(z)+i}[/tex] è limitata su $CC$. D'altra parte è pure intera, perchè l'unico punto in cui potrebbe dare problemi è quando $f(z)=-i$, cosa impossibile per l'assunzione \(\displaystyle \Im f(z)>0 \). Allora per Liouville sarebbe costante, il che è assurdo perchè allora lo sarebbe anche $f$.
Che dite? Vi convince?
Una conferma è gentilmente gradita.
Mi sembra corretta.
(Comunque basta anche small Picard, che ha una dimostrazione accessibile.)
(Comunque basta anche small Picard, che ha una dimostrazione accessibile.)
"Rigel":
Mi sembra corretta.
Grazie.
"Rigel":
(Comunque basta anche small Picard, che ha una dimostrazione accessibile.)
Intendi questa?
Bene; appena avrò un po' di confidenza con poli, zeri, singolarità essenziali gli darò una lettura approfondita (anzi, non escludo che lo vedremo anche a lezione).
Grazie mille per il tuo sempre prezioso aiuto.
Grazie mille per il tuo sempre prezioso aiuto.
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