[EX]integrale in 3 variabili

[ansawo]

ho da fare questo integrale

il dominio è questo $D={2x^2+3y^2+4z^2<=1}$

$\int_D x^2+y^2 dxdydz$

per la risoluzione ho pensavo di fare un cambio di variabili in modo che il dominio mi diventi una sfera

si ha quindi che

$x=u/sqrt(2)$; $y=v/sqrt(3)$; $z=w/2$

$det J = 1/(2sqrt(6))$

e diventava quindi

$1/(2sqrt(6)) \int_(B(0,1))u^2/2+v^2/3 dudvdw$ intendendo con $B(0,1)$ la sfera di centro l'origine e raggio 1

a questo punto fare il cambio di variabili per le coordinate sferiche e spezzare l'integrale. e viene così

$1/(4sqrt(6))\int_(B(0,1))\rho^4 sin^3 \theta cos^2 \varphi d\rho d\theta d\varphi + 1/(6sqrt(6))\int_(B(0,1))\rho^4 sin^3 \theta sin^2 \varphi d\rho d\theta d\varphi$

con $\theta$ l'angolo tra il raggio e l'asse delle z, e $\varphi$ quell'altro.


solo che non mi torna il risultato delle soluzioni

i conti numerici dovuti a questi ultimi due integrali li ho ricontrollati anche con Wolframalpha, quindi se ho sbagliato qualcosa deve essere prima

[Quinzio]

La tua impostazione mi sembra corretta.
Quali sono i risultati tuoi e del libro ?

[ansawo]

allora, a me viene $(2 pi)/(9sqrt(6))$

il libro dice viene$(4\pi sqrt(3))/81$

[ansawo]

quando faccio il cambio di variabili in coordinate sferiche, come dominio di integrazione ho messo di nuovo $B(0,1)$
ma intendo $0<=\rho<=1$, $0<=\theta<=pi$, $0<=\varphi<=2 pi$