[EX]$H^1(RR^n)\to L^2(RR^n)$ non è compatta

[Gaal Dornick]

Tutti sappiamo che, se $\Omega \subset RR^n$ è un aperto limitato, con un buon bordo, allora l'immersione $i: H^1(Omega)\to L^2(Omega)$ è compatta.

La stessa cosa non vale su $\Omega=RR^n$. Lo si dimostri.

[Gaal Dornick]

Non capisco se è considerato difficile (non lo è affatto) o è poco interessante.
O forse è il periodo. Però è un esercizio che richiede di riflettere un attimo, insomma uno step in più rispetto a "calcolo quest'integrale". La matematica non è fare conti.

[j18eos]

Magari per invogliare qualche lettore potresti esporre qualche definizione!

[gugo82]

Ricordo che \(H^1(\mathbb{R}^N) =W^{1,2}(\mathbb{R}^N)\) è lo spazio di Sobolev definito come segue:
\[
\begin{split}
H^1(\mathbb{R}^N) :=\Bigg\{ u\in L^2(\mathbb{R}^N):\ \exists v_1,\ldots ,v_N &\in L^2(\mathbb{R}^N) \text{ t.c. } \int_{\mathbb{R}^N} v_i\phi = -\int_{\mathbb{R}^N} u\ \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \\
&\text{ per } i=1,\ldots ,N \text{ e ogni } \phi \in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\Bigg\}
\end{split}
\]
e, per comodità, si pone \(\nabla u:=(v_1,\ldots ,v_N)\) per ogni \(u\in H^1(\mathbb{R}^N)\).
Si prova che \(H^1(\mathbb{R}^N)\) è uno spazio di Hilbert se dotato del prodotto scalare:
\[
\langle u^1, u^2\rangle_{H^1} := \langle u^1,u^2\rangle_{L^2}+ \langle \nabla u^1,\nabla u^2\rangle_{L^2}
\]
Tale prodotto scalare induce una norma del tutto equivalente a:
\[
\| u\|_{H^1} := \| u\|_{L^2} + \| \nabla u\|_{L^2}
\]
Evidentemente l'applicazione:
\[
j: H^1 (\mathbb{R}^N) \ni u \mapsto u \in L^2(\mathbb{R}^N)
\]
immerge lo spazio di Sobolev \(H^1\) nello spazio di Lebesgue \(L^2\); dato che:
\[
\| j(u)\|_{L^2} = \| u\|_{L^2} \leq \| u\|_{H^1}
\]
e che \(j\) è lineare, l'immersione \(j\) è continua.
Dire che l'immersione \(j\) è compatta, invece, significa affermare che:
\[
\text{per ogni } X\subseteq H^1(\mathbb{R}^N) \text{ limitato in norma, l'insieme } j(X)\subseteq L^2(\mathbb{R}^N) \text{ è totalmente limitato}
\]
ossia che:
\[
\text{da ogni successione } (u^n) \text{ limitata in norma } H^1 \text{ è possibile estrarre una sottosuccessione di Cauchy in norma } L^2.
\]
Per dimostrare che \(j\) non è compatta, allora, basta trovare una successione \((u^n)\subset H^1(\mathbb{R}^N)\) limitata in norma \(H^1\) dalla quale non è possibile estrarre alcuna sottosuccessione convergente in \(L^2(\mathbb{R}^N)\)...

Prima di continuare chiedo a Gaal conferma della bontà di ciò che ho scritto.

[Gaal Dornick]

Beh, gli spazi di Sobolev non sono uno spazio poi così poco standard da necessitare una definizione!

Ovviamente Gugo ha scritto tutto benissimo.

[gugo82]

Bene, Gaal.
Ora che ho avuto conferma, concludo.

L'idea della costruzione che segue è questa: visto che ho a disposizione tutto lo spazio che voglio, per ottenere una successione limitata dalla quale non si possono estrarre successioni di Cauchy mi basta scegliere una funzione non nulla e spostarla "all'infinito"...

Prendiamo una funzione \(\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)\) con supporto \(\subseteq B(o;1)\): ad esempio, possiamo prendere il solito mollificatore standard, i.e.:
\[
\phi (x):= \begin{cases} \exp \left( \frac{1}{|x|^2-1}\right) &\text{, se } |x|<1\\ 0 &\text{, se } |x|\geq 1\; .\end{cases}
\]
Inoltre, scelto un numero \(\alpha \geq 2\), poniamo \(a^n:=(\alpha^n ,\alpha^n,\ldots ,\alpha^n)\in \mathbb{R}^N\).
Fatto ciò, per ogni \(n\in \mathbb{N}\), definiamo:
\[
u^n(x):= \phi (x-a^n)
\]
(e.g., \(u^2(x)=\phi (x_1-\alpha^2,\ldots ,x_N-\alpha^2)\)).

Dato che la norma \(L^2\) è invariante per traslazioni e che \(\nabla u^n (x):= \nabla \phi (x-a)\), si ha:
\[
\| u^n\|_{L^2} = \| \phi\|_{L^2}\qquad \text{e} \qquad \| \nabla u^n\|_{L^2} = \| \nabla \phi \|_{L^2}
\]
e dunque:
\[
\| u^n\|_{H^1} = \| \phi\|_{H^1}\; .
\]
Ne consegue che la successione \((u^n)\) è limitata in norma \(H^1\).

Mostriamo ora che da \((u^n)\) non è possibile estrarre alcuna successione di Cauchy in \(L^2\).
Dato che:
\[
\operatorname{supp} u^n = a^n+\operatorname{supp} \phi \subseteq a^n+\overline{B}(o;1) = \overline{B}(a^n;1)
\]
per ogni \(m>n\) si ha:
\[
\operatorname{supp} u^n \cap \operatorname{supp} u^m \subseteq \overline{B}(a^n;1)\cap \overline{B}(a^m;1) = \varnothing
\]
sicché i supporti di \(u^n\) ed \(u^m\) sono disgiunti. Da ciò segue imediatamente che per \(m>n\):
\[
\| u^n-u^m\|_{L^2} = \left( \| u^n\|_{L^2}^2+\| u^m\|_{L^2}^2\right)^{1/2} = \sqrt{2}\ \| \phi\|_{L^2}
\]
e quindi da \((u^n)\) non è possibile estrarre successioni di Cauchy in norma \(L^2\).

Piaciuto il trucchetto?

[Gaal Dornick]

Molto bene!
L'idea è la stessa venuta a me.
Io ho ragionato leggermente più generalmente: considero una qualunque funzione $f\in H^1(RR^n)$, costruisco la successione delle traslate $f_n:=f(\cdot - nv)$, ove $n\in NN$ e $v$ è un qualunque versore.
Si ha allora che $f_n$ hanno tutte la stessa norma in $H^1$ e in $L^2$, ma convergono debolmente in $L^2$ a $0$, quindi non possono convergere fortemente in $L^2$.

Se volete, scrivo per bene la questione della convergenza debole.

Ovviamente il tutto è generalizzabile a un qualunque insieme nel quale "si può scappare all'infinito", ad esempio un insieme che, nella direzione $v$, sia grande almeno una striscia di larghezza $\delta>0$.

[gugo82]

"Gaal Dornick":Ovviamente il tutto è generalizzabile a un qualunque insieme nel quale "si può scappare all'infinito" [...]

E no, caro mio... Troppo semplice!

Esistono domini non limitati \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) per i quali l'immersione \(W^{1,p}(\Omega) \to L^q(\Omega)\) è compatta per \(p\leq q
Adams, The Rellich-Kondrachov Theorem for Unbounded Domains, A.R.M.A. 29 (1968), n° 5, pp.90-94

oppure al libro dello stesso autore:

Adams & Fournier, Sobolev Spaces - Second Edition, Elsevier (2003), cap. 6.