Exer. analisi 2
Salve a tutti.Non riesco a risolvere un problema....
Sia A la porzione di piano contenuta nel primo ottante e racchiusa tra le curve di equazione x-y=0 e x^3+y^3-xy=0
Calcolare il volume del cilindroide di base A delimitato dal grafico della funzione f(x,y) = y /(x^2).
Il ragionamento che ho seguito(correggetemi se è errato) è il seguente.In sostanza l'exer. richiede di risolvere un integrale doppio della f sull'insieme A.Per fare questo o ci scriviamo A come dominio normale in coordinate cartesiane,(cosa che non riesco a fare poichè non so come esplicitare la seconda curva rispetto ad x o ad y,)o uso le formule di gauss green parametrizzando le curve e calcolando l'integrale curvilineo.Parametrizzando la seconda curva ottengo:: "ro" = [cos(§)sen(§) ] / [cos^3(§)+sen^3(§)] quindi x = "ro"cos(§) ed y = "ro"sen(§). con § € [0,pi/2]....
In questo caso non riesco a risolvere l'integrale....
Lo stesso se mi scrivo A in coordinate polari...Insomma non so farlo.
Sareste così gentili da aiutarmi?
Sia A la porzione di piano contenuta nel primo ottante e racchiusa tra le curve di equazione x-y=0 e x^3+y^3-xy=0
Calcolare il volume del cilindroide di base A delimitato dal grafico della funzione f(x,y) = y /(x^2).
Il ragionamento che ho seguito(correggetemi se è errato) è il seguente.In sostanza l'exer. richiede di risolvere un integrale doppio della f sull'insieme A.Per fare questo o ci scriviamo A come dominio normale in coordinate cartesiane,(cosa che non riesco a fare poichè non so come esplicitare la seconda curva rispetto ad x o ad y,)o uso le formule di gauss green parametrizzando le curve e calcolando l'integrale curvilineo.Parametrizzando la seconda curva ottengo:: "ro" = [cos(§)sen(§) ] / [cos^3(§)+sen^3(§)] quindi x = "ro"cos(§) ed y = "ro"sen(§). con § € [0,pi/2]....
In questo caso non riesco a risolvere l'integrale....
Lo stesso se mi scrivo A in coordinate polari...Insomma non so farlo.
Sareste così gentili da aiutarmi?
Risposte
nesssuno mi aiuta? 
cerco in ogni modo ma non trovo soluzione...
cerco in ogni modo ma non trovo soluzione...
A parte le difficolta' di calcolo,noto che la funz. z=y/x^2 non e' definita nell'origine (nonche' in tutti i punti del piano x=0).
Ciao.
Ciao.
Grazie lo stesso...Magari sapreste aiutarmi ad esplicitare x^3+y^3-xy=0 rispetto a una delle due?
Ciao Elyas,
bello l'esercizio che hai postato
dunque ti dico,ho passato tutto il pomeriggio a studiare il Teorema di Dini sulle funzioni implicite,lo conosci?
(grazie Luca!)
il problema è che io riuscirei a verificare se la tua equazione x^3+y^3-xy definisce implicitamente una funzione solo in un intorno di un punto NON globalmente,capisci?
quindi ai fini del tuo esercizio non ti sarebbe di grande aiuto..
Luca tu sapresti spiegarmi come si fa a esplicitare globalmente una funzione con Dini (ammesso che si possa,ma credo di aver letto un esercizio sul Salsa)?
Credo comunque che la parametrizzazione sia ad ogni modo la strada corretta per risolverlo,prova a postare l'integrale che mi interessa!(se riesci a scriverlo con il Latex o Mathtype sarebbe mooolto meglio!)
se mi viene qualche idea te la scrivo,ok?
Ciao!
Marvin
bello l'esercizio che hai postato
dunque ti dico,ho passato tutto il pomeriggio a studiare il Teorema di Dini sulle funzioni implicite,lo conosci?
(grazie Luca!)
il problema è che io riuscirei a verificare se la tua equazione x^3+y^3-xy definisce implicitamente una funzione solo in un intorno di un punto NON globalmente,capisci?
quindi ai fini del tuo esercizio non ti sarebbe di grande aiuto..
Luca tu sapresti spiegarmi come si fa a esplicitare globalmente una funzione con Dini (ammesso che si possa,ma credo di aver letto un esercizio sul Salsa)?
Credo comunque che la parametrizzazione sia ad ogni modo la strada corretta per risolverlo,prova a postare l'integrale che mi interessa!(se riesci a scriverlo con il Latex o Mathtype sarebbe mooolto meglio!)
se mi viene qualche idea te la scrivo,ok?
Ciao!
Marvin
cmq vai a questo link e scarica la dispensa "Teorema del Dini":
http://www.llussardi.it/download/download.html
http://www.llussardi.it/download/download.html
Se puo' interessare ,la curva x^3+y^3-xy=0 e' il noto "Folium"
di Cartesio.Essa ha (vedi fig.) un asintoto nella retta x+y+1/3=0,
un nodo nell'origine con tangenti i due assi coordinati.La meta' del cappio che questo nodo forma e' il dominio A (parte rossa).
Ciao.
Anche senza andare per la "Via Lattea" (Camillo mi scusera' ma e'
sola una ingenua battuta!)si sa che se una cubica ha un punto
doppio (un nodo nel nostro caso) ogni retta passante per esso
assorbe due delle tre intersezioni.La rimanente intersezione
fornisce le equazioni parametriche;infatti risolvendo il sistema
[y=xt,x^3+y^3-xy=0] si ricava x=t/(1+t^3) e dunque
y=t^2/(1+t^3).
Ma ne' le equazioni parametriche in t ne' quelle polari risolvono
in maniera abbordabile il richiesto calcolo del volume
(a meno di qualche diavoleria o di faticosissimi calcoli).
Mi domando se l'estensore del quesito (non Elyas!!) ha avuto
coscienza di cio' che proponeva visto che gia'la rappresentazione del Folium richiede nozioni di un certo peso.
Forse il suddetto estensore voleva mettere alla prova qualcuno
o provare chissacosa!
Ciao.
sola una ingenua battuta!)si sa che se una cubica ha un punto
doppio (un nodo nel nostro caso) ogni retta passante per esso
assorbe due delle tre intersezioni.La rimanente intersezione
fornisce le equazioni parametriche;infatti risolvendo il sistema
[y=xt,x^3+y^3-xy=0] si ricava x=t/(1+t^3) e dunque
y=t^2/(1+t^3).
Ma ne' le equazioni parametriche in t ne' quelle polari risolvono
in maniera abbordabile il richiesto calcolo del volume
(a meno di qualche diavoleria o di faticosissimi calcoli).
Mi domando se l'estensore del quesito (non Elyas!!) ha avuto
coscienza di cio' che proponeva visto che gia'la rappresentazione del Folium richiede nozioni di un certo peso.
Forse il suddetto estensore voleva mettere alla prova qualcuno
o provare chissacosa!
Ciao.
ecco!lo sapevo che l'avevo già vista quell'equazione...sull'eserciziario di Analisi B 2° parte del Marcellini-Sbordone c'è qualche esercizio riguardante queste curve particolari..
ma ad ogni modo,con il Dini non è possibile cmq approcciare la curva?
ma ad ogni modo,con il Dini non è possibile cmq approcciare la curva?
Grazie a tutti.In effetti l'estensore ha perfettamente idea di ciò che richiede...è una prova d'esame di analisi 2 di ingegneria biomedica di qke anno fa.Cmq io non avevo riconosciuto il folium cartesiano per il semplice fatto che ho visto sempre le rappresentazioni parametriche.Ora mi cimenterò in questi faticosissimi calcoli e grazie aal vostro aiuto cercherò di risolverlo.In particolare marvin.Dove lo hai visto sul marcellini sbordone?io non lo trovo....!!!!
purtroppo cmq non conosco il teorema del dini o almeno non con questo nome....
Archimede mi ripeteresti come hai ottenuto le parametriche?
Sull'eserciziario (non sul libro di testo!) a pagina 388 / 389 (l'eserciziario è il volume 2 di An B)
Teorema del Dini o per gli amici Teorema delle funzioni Implicite, se hai anche il Pagani-Salsa (libro di testo però)lo trovi a pagina 408..anche se a mio avviso per com'è spiegato li mi è stato di poca utilità
e provare una traslazione nell'origine??..nella zona del calcolo del tuo volume gode di una buona simmetria,purtroppo non utile nel dimensionare la variazione di "ro" nel passaggio in polari..
..è proprio un casino...
Teorema del Dini o per gli amici Teorema delle funzioni Implicite, se hai anche il Pagani-Salsa (libro di testo però)lo trovi a pagina 408..anche se a mio avviso per com'è spiegato li mi è stato di poca utilità
e provare una traslazione nell'origine??..nella zona del calcolo del tuo volume gode di una buona simmetria,purtroppo non utile nel dimensionare la variazione di "ro" nel passaggio in polari..
..è proprio un casino...
scusate l'ingrombro ma non ho un software per ridimensionare le immagini
Lo studio di una curva "implicita" come il Folium si consegue
con la ricerca dei punti impropri e delle relative tangenti(asintoti),
dei punti multipli,dei punti di estremo assoluti e relativi ,
delle eventuali simmetrie ed equazioni parametriche
e di quant'altro.Tutto questo,per una curva implicita non e'
per niente banale e si fa di norma in un corso di geometria
per la laurea in Matematica .
Le stesse considerazioni riportate da Marvin nell'immagine
sono ben lontane dall'essere sufficienti per disegnare anche
solo approssimativamente il Folium ( figuriamoci per quelle
piu' complesse e ce ne sono!).
Naturalmente sono valutazioni personali e come tali vanno
prese.
Tornando al Folium,le equazioni parametriche si ottengono
scrivendo la generica retta passante per il punto doppio
(l'origine ,nel nostro caso) e cioe' y=t*x .Facendo
sistema con la curva e sostituendo si ha
x^3+t^3*x^3-x*tx=0
da cui ,scartando al soluzione x^2=0,(1+t^2)x-t=0 e quindi
x=t/(1+t^3) da cui si trae y=t*t/(1+t^3)=t^2/(1+t^3)
In definitiva abbiamo:x=t/(1+t^3),y=t^2/(1+t^3)
Questo procedimento,sotto certe condizioni, e' del tutto generale
ma richiede appunto la conoscenza dei punti multipli della curva.
Ciao.
con la ricerca dei punti impropri e delle relative tangenti(asintoti),
dei punti multipli,dei punti di estremo assoluti e relativi ,
delle eventuali simmetrie ed equazioni parametriche
e di quant'altro.Tutto questo,per una curva implicita non e'
per niente banale e si fa di norma in un corso di geometria
per la laurea in Matematica .
Le stesse considerazioni riportate da Marvin nell'immagine
sono ben lontane dall'essere sufficienti per disegnare anche
solo approssimativamente il Folium ( figuriamoci per quelle
piu' complesse e ce ne sono!).
Naturalmente sono valutazioni personali e come tali vanno
prese.
Tornando al Folium,le equazioni parametriche si ottengono
scrivendo la generica retta passante per il punto doppio
(l'origine ,nel nostro caso) e cioe' y=t*x .Facendo
sistema con la curva e sostituendo si ha
x^3+t^3*x^3-x*tx=0
da cui ,scartando al soluzione x^2=0,(1+t^2)x-t=0 e quindi
x=t/(1+t^3) da cui si trae y=t*t/(1+t^3)=t^2/(1+t^3)
In definitiva abbiamo:x=t/(1+t^3),y=t^2/(1+t^3)
Questo procedimento,sotto certe condizioni, e' del tutto generale
ma richiede appunto la conoscenza dei punti multipli della curva.
Ciao.
io avevo riportato solamente le note del mio eserciziario,effettivamente non credo di essere in grado di risolvere il problema con quello che so io.
Sorry,
Marvin
Sorry,
Marvin
OK HO TROVATO LA PAGINA IN QUESTIONE SUL MARCELLINI SBORDONE, (il mio prof è fusco nicola l'autore con gli altri due del suddetto libro di testo)ed ho capito la parametrizzazione.
non sarei cmq capaci di fare lo stesso con una altra curva così complicata.......Mi boccerà di nuovo?
non sarei cmq capaci di fare lo stesso con una altra curva così complicata.......Mi boccerà di nuovo?
applicando la formula di gauss green avendo la parametrizzazione della frontiera, ottengo che l'integrale doppio è uguale a "integrale curvilineo su front. di a"di -1/2(y^2)/(x^2)dx,dy che è abbordabile.
In realtà sonoo due integrali curvilinei di forme differenziali uno su gamma1:{t,t}(cambiato di segno)ed uno su gamma2:{t/(1+t^3);t^2/(1+t^3)}col suo segno. il primo mi viene 1/4 il secondo mi viene
(-1/2)*int[tra 0 e 1](t^2-2t^5)/(1+t^3)^2 dt che con opportune divisioni tra polinomi dovrebbe essere (dif)facilmente risolvibile....Mi aiutate?
In realtà sonoo due integrali curvilinei di forme differenziali uno su gamma1:{t,t}(cambiato di segno)ed uno su gamma2:{t/(1+t^3);t^2/(1+t^3)}col suo segno. il primo mi viene 1/4 il secondo mi viene
(-1/2)*int[tra 0 e 1](t^2-2t^5)/(1+t^3)^2 dt che con opportune divisioni tra polinomi dovrebbe essere (dif)facilmente risolvibile....Mi aiutate?
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