[ex vari] integrali impropri

[jitter1]

Ciao a tutti, chiedo conferma per un integrale improprio. Siccome è un argomento su cui sto sbattendo la capoccia, magari non sarà il primo esercizio che posto; li raccolgo tutti in questo thread.

$ int_(0)^(+oo) x/(2x^5+1) dx $

Scrivo l'integrale come: $ int_(0)^(1) x/(2x^5+1) dx $ + $ int_(1)^(+oo) x/(2x^5+1) dx $.

- Per l'intervallo $(1, +oo)$ osservo che $x/(2x^5+1)$ è asintotico a $1/x^4$, e quindi l'integrale è convergente.

- In $(0, 1)$: posso dire senza fare calcoli che, siccome in questo intervallo la funzione è continua e perciò integrabile, allora l'integrale $ int_(0)^(1) x/(2x^5+1) dx $ è convergente?. Mi sa che non avevo capito bene un fatto fondamentale : funzione integrabile significa, anche, che il suo integrale definito in un intervallo dove è continua (anche agli estremi) assume un valore finito, giusto? Se rileggo la definizione di "integrabile nel senso di Riemann" non è esplicito, ma forse è così...

[Rigel1]

La funzione che hai scritto è continua in \([0,1]\), quindi Riemann-integrabile. L'integrale di Riemann è sempre finito, poiché si ha a che fare con funzioni limitate in intervalli limitati (quindi le somme superiori e inferiori sono sempre limitate).
Una funzione Riemann-integrabile è automaticamente integrabile in senso improprio nel medesimo intervallo (la dimostrazione è abbastanza rapida).

[jitter1]

chiaro come sempre, grazie Rigel