[EX] Una successione di funzione

[giuscri]

Non e' che abbia ingranato alla grande con queste successioni di funzioni. Avete qualche idea riguardo a
\[f_k(x) = \sin{\frac{2x+\pi k}{2k+3x}} \qquad x \ge 0\]

La successione mi pare converge a \(f(x) \equiv 1\), \(\forall x\) fissato in \([0,+\infty[\). Come me la cavo con la convergenza uniforme?
\[\sup_{x \in [0,+\infty[} \left| \sin{\frac{2x + \pi k}{2k + 3x}} - 1\right| \stackrel{?}{\to} 0\]
Certamente no: quel \(\sup\) e' proprio \(2\). Ma dove posso restringermi per avere continuita' uniforme ...else come faccio ad essere sicuro non esista alcun intervallo in cui la convergenza sia uniforme?

[Quinzio]

La convergenza uniforme esiste su ogni intervallo limitato, non importa quanto ampio.
Cioè $x\in[0,M],\ M\inRR$

Si vuole che

$"sup"_(x\in[0,M])|1-sin((\pik+2x)/(2k+3x))|<\epsilon$

ossia che

$"sup"_(x\in[0,M])sin((\pik+2x)/(2k+3x))>1-\epsilon$

$(\pik+2x)/(2k+3x)>\pi/2\pm\delta$

$\pi/2+\delta>(\pik+2x)/(2k+3x)>\pi/2-\delta$

$k>(x(3\pi-4-6\delta))/(4\delta)$

$k>(M(3\pi-4-6\delta))/(4\delta)$

[giuscri]

Grande!

Preferisco vederla come segue, pero' (facile! ...dopo aver visto la soluzione ).

Si verifica immediatamente che
\[\left( \frac{2x + \pi k}{2k + 3x} \right)^{\prime} < 0\]
Quindi quel \(\sin\) e' monotono: parte da \(1\) e si assesta, al crescere di \(x\), a quota \(\sin{2/3}\). Quindi
\[\sin {\frac{2x + \pi k}{2k + 3x}}\]
e' tanto piu' distante da \(1\) quanto piu' \(x\) e' cresciuta. Cioe':
\[\sup_{x \in [0,+\infty)} \left( 1 - \sin {\frac{2x + \pi k}{2k + 3x}} \right) \equiv 1 - \sin{(2/3)} \not\to 0\]

Come dicevi, sui limitati, le considerazioni sul tasso di crescita di quel \(\sin\) mi permettono di dire che
\[\sup_{x \in [0,M]} \left( 1 - \sin { \ldots } \right) \equiv 1 - \sin{\frac{2M + \pi k}{2k + 3M}} \to 0\]

Ti ringrazio per l'aiuto