[EX] Una successione definita per ricorrenza

[gugo82]

Un classico rimaneggiato.

Esercizio:

1. Dimostrare che la successione definita per ricorrenza ponendo:
\[
\left\{ \begin{align*} a_{n+1} &= \frac{n}{n+1}\ \sqrt[n+1]{e}\ a_n\\
a_1 &= 1
\end{align*}\right.
\]
è strettamente decrescente e convergente.

2. Usando il risultato precedente, studiare la successione di termine generale:
\[
g_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\; .
\]

[Noisemaker]

butto li qualche hint ...senza entrare nel dettaglio, visto che l'esercizio può essere utile a chi prepara Analisi 1

per il punto $a$ usando la definizione di successione decrescente $a_{n+1} \[ \frac{1}{n+1}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) ,\]
che è sempre vera grazie a ...
per il punto $b$ è utile scrivere
$$\ln n=\sum_{k=1}^{n-1}\ln (k+1)-\ln k,$$
in modo che si abbia da studiare
\[\lim_{n \to+\infty}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n-1}\left(\ln (k+1)-\ln k\right)}\]
che non è altro che la somma della serie:
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} - \left(\ln (n+1)-\ln n\right)=\sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{n} - \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right].\]