[EX] - Una $\Sigma$erie $\Sigma$eccante
Ho da studiare la seguente [size=85]schifezza[/size]:
\[\sum\dfrac{(\sin x+\cos x)^n}{n\ln^8 n}\]
In particolare devo trovare i valori di $x\in RR$ per cui converge.
Valuto l'assoluta convergenza. Ho:
\[\left|\dfrac{(\sin x+\cos x)^n}{n\ln^8 n}\right|=\dfrac{|\sin x+\cos x|^n}{n\ln^8 n}=:\dfrac{|f(x)|^n}{n\ln^8 n}\]
La radice $n$-esima di questa robaccia ha limite $|f(x)|$: studiamoci 'sta $f(x)$...
Noto innanzitutto che $f$ è $2\pi$-periodica, quindi restringo lo studio a $[0,2\pi[$. Alcuni valori notevoli, che ricavo facendo un disegnino, sono:
\[f(0)=f(\pi/2)=1\qquad f(\pi)=f(3\pi/2)=-1 \qquad f(3\pi/4)=f(7\pi/4)=0 \tag{1}\]
Inoltre, studiando $f'$ ricavo che $x=\pi/4$ e $x=5/4 pi$ sono rispettivamente un punto di massimo e uno di minimo, e si ha $f(pi/4)=\sqrt(2)$ e $f(5/4 pi)=-sqrt{2}$. In particolare ho che
\[|f(x)|<1 \iff x \in ]\pi/2,\pi[\, \cup\, ]3\pi/2, 2\pi[ =:I\]
Se $x\in I$ ho quindi che la serie converge assolutamente, mentre per $x\in \partial I$ devo fare uno studio a parte. Dalla $(1)$ ho che, se $x\in \{0,\pi/2\}$ la serie diventa
\[\sum\dfrac{1}{n\ln^8 n}\]
che converge per il criterio dell'integrale.
Sempre per la $(1)$, se $x\in \{\pi,3/2pi\}$ la serie è
\[\sum\dfrac{(-1)^n}{n\ln^8 n}\]
che converge per Leibniz.
Infine, se $x\in]0$ $,\pi/2[$ o $x\in ]\pi, 3\pi/2[$ si ha rispettivamente $f(x)>1$ e $f(x)<-1$. Nel primo caso la serie diverge, non essendo soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza. Nel secondo caso la serie diventa
\[\sum (-1)^n\underbrace{\dfrac{|f(x)|^n}{n\ln^8 n}}_{=:a_n}\]
ed è irregolare essendo $a_n$ monotona e non infinitesima.
Notate errori? In caso negativo, avrei potuto usare un metodo più "efficace"?
\[\sum\dfrac{(\sin x+\cos x)^n}{n\ln^8 n}\]
In particolare devo trovare i valori di $x\in RR$ per cui converge.
Valuto l'assoluta convergenza. Ho:
\[\left|\dfrac{(\sin x+\cos x)^n}{n\ln^8 n}\right|=\dfrac{|\sin x+\cos x|^n}{n\ln^8 n}=:\dfrac{|f(x)|^n}{n\ln^8 n}\]
La radice $n$-esima di questa robaccia ha limite $|f(x)|$: studiamoci 'sta $f(x)$...
Noto innanzitutto che $f$ è $2\pi$-periodica, quindi restringo lo studio a $[0,2\pi[$. Alcuni valori notevoli, che ricavo facendo un disegnino, sono:
\[f(0)=f(\pi/2)=1\qquad f(\pi)=f(3\pi/2)=-1 \qquad f(3\pi/4)=f(7\pi/4)=0 \tag{1}\]
Inoltre, studiando $f'$ ricavo che $x=\pi/4$ e $x=5/4 pi$ sono rispettivamente un punto di massimo e uno di minimo, e si ha $f(pi/4)=\sqrt(2)$ e $f(5/4 pi)=-sqrt{2}$. In particolare ho che
\[|f(x)|<1 \iff x \in ]\pi/2,\pi[\, \cup\, ]3\pi/2, 2\pi[ =:I\]
Se $x\in I$ ho quindi che la serie converge assolutamente, mentre per $x\in \partial I$ devo fare uno studio a parte. Dalla $(1)$ ho che, se $x\in \{0,\pi/2\}$ la serie diventa
\[\sum\dfrac{1}{n\ln^8 n}\]
che converge per il criterio dell'integrale.
Sempre per la $(1)$, se $x\in \{\pi,3/2pi\}$ la serie è
\[\sum\dfrac{(-1)^n}{n\ln^8 n}\]
che converge per Leibniz.
Infine, se $x\in]0$ $,\pi/2[$ o $x\in ]\pi, 3\pi/2[$ si ha rispettivamente $f(x)>1$ e $f(x)<-1$. Nel primo caso la serie diverge, non essendo soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza. Nel secondo caso la serie diventa
\[\sum (-1)^n\underbrace{\dfrac{|f(x)|^n}{n\ln^8 n}}_{=:a_n}\]
ed è irregolare essendo $a_n$ monotona e non infinitesima.
Notate errori? In caso negativo, avrei potuto usare un metodo più "efficace"?
Risposte
"Plepp":
[...]Notate errori? In caso negativo, avrei potuto usare un metodo più "efficace"?
Beh dai, tutto sommato mi sembra un studio "lineare". Personalmente mi sarei prima probabilmente impantanato con le formule di Eulero, dopodiché avrei fatto uno studietto di funzione come hai fatto tu.
Sostanzialmente è ok, un po' prolisso secondo il mio punto di vista, ma non vedo nessuna conclusione chiara.
Forse ti giova sapere che $sinx+cosx=\sqrt2 \sin(x+\pi/4)$.
Quindi in $(0,\pi/2)$ non converge perchè è una serie geometrica di ragione $q>1$.
In $[\pi/2,\pi] \uu [3/2\pi,2\pi]$ converge perchè serie geometrica con $q<1$.
In $(\pi, 3/2\pi)$ oscilla e diverge assolutamente.
Gli estremi degli intervalli li hai definiti bene tu, e convergono tutti.
Quindi, (quello che si vorrebbe vedere alla fine), converge in $x\in[\pi/2+2k\pi,\ \pi+2k\pi]\uu[3/2\pi+2k\pi,\ 2(k+1)\pi], \ k\in NN$
Forse ti giova sapere che $sinx+cosx=\sqrt2 \sin(x+\pi/4)$.
Quindi in $(0,\pi/2)$ non converge perchè è una serie geometrica di ragione $q>1$.
In $[\pi/2,\pi] \uu [3/2\pi,2\pi]$ converge perchè serie geometrica con $q<1$.
In $(\pi, 3/2\pi)$ oscilla e diverge assolutamente.
Gli estremi degli intervalli li hai definiti bene tu, e convergono tutti.
Quindi, (quello che si vorrebbe vedere alla fine), converge in $x\in[\pi/2+2k\pi,\ \pi+2k\pi]\uu[3/2\pi+2k\pi,\ 2(k+1)\pi], \ k\in NN$
"Delirium":
[quote="Plepp"][...]Notate errori? In caso negativo, avrei potuto usare un metodo più "efficace"?
Beh dai, tutto sommato mi sembra un studio "lineare". Personalmente mi sarei prima probabilmente impantanato con le formule di Eulero, dopodiché avrei fatto uno studietto di funzione come hai fatto tu.[/quote]
Ciao Del. Le formule di Eulero? A quali ti riferisci? Perdona l'ignoranza...
"Quinzio":
Sostanzialmente è ok, un po' prolisso secondo il mio punto di vista, ma non vedo nessuna conclusione chiara.
Forse ti giova sapere che $ sinx+cosx=\sqrt2 \sin(x+\pi/4) $.
Ciao Quinzio. In effetti, in generale tendo a dilungarmi un po', ma è questione di "stile"...accidenti, siamo - aspiranti - matematici, non possiamo limitarci a fare sterili schemini
In ogni caso, mi sembra di aver trattato tutti i casi che c'erano da trattare: in che senso non vedi conclusioni chiare? 
Quanto all'identità di cui parli...senza usare la teoria delle equazioni differenziali non saprei come giustificarla, essendo, ahimè, un perfetto ignorante in materia di Trigonometria. Ci sono altri modi?
"Quinzio":
Quindi in $ (0,\pi/2) $ non converge perchè è una serie geometrica di ragione $ q>1 $.
In $ [\pi/2,\pi] \uu [3/2\pi,2\pi] $ converge perchè serie geometrica con $ q<1 $.
Mettiamoci d'accordo: cosa intendiamo per serie geometrica?
intende $(sin x+\cosx)^n:=q^n$
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