[EX] Una ricorrenza nonlineare

[gugo82]

Problema:

Studiare il comportamento delle soluzioni della seguente ricorrenza:
\[
\begin{cases}
\sin \big( 2 x_{n+1} -x_n\big) = \kappa\ \sin x_n\\
x_0=\xi\\
-\tfrac{\pi}{2}\leq x_n\leq \tfrac{\pi}{2}\; ,
\end{cases}
\]
in cui \(0<\kappa <1\) è un parametro assegnato, al variare di \(\xi \in ]0,\frac{\pi}{2}]\).

[Paolo902]

Bel problema, gugo!

Purtroppo non ho molto da dire, per ora; siccome sulle successioni definite per ricorrenza sono un po' arrugginito avrei bisogno di qualche dritta. In spoiler qualche considerazione iniziale.

Facciamo finta per un attimo che il limite $\lim_n x_n = \bar{x}$ esista finito. Allora necessariamente $sin(2\bar{x}-\bar{x})=ksin(\bar{x})$ da cui necessariamente $sin\bar x = 0$, vista l'ipotesi su $k$. In sostanza, $\bar{x} \in \pi \mathbb Z$.

Non riesco a stabilire niente di più: la successione è limitata almeno per qualche valore di $\xi$? Magari anche monotona? Il problema è che non riesco proprio a farmi venire un'idea su come cominciare. Per dire non riesco nemmeno a calcolarmi $x_1$...

Grazie!

[gugo82]

Effettivamente dovrei imporre delle condizioni di limitatezza, altrimenti tutto rimane un po' vago (la periodicità del seno, infatti, è abbastanza fastidiosa).

Probabilmente, aggiungere \(-\frac{\pi}{2} \leq x_n\leq \frac{\pi}{2}\) dovrebbe aiutare... E sì, così diventa facile-facile.

[theras]

A me par che,indipendentemente da eventuali vincoli cui sottoporre $x_n$,
con quelle limitazioni su $k$ si possa affermare che,$AA xi in (0,pi/2]$,
l'equazione alle differenze finite possa esser riscritta nella forma $x_(n+1)-x_n=f(x_n)$
(con $f(x)=1/2["arcsen"(k"sen"x)-x]:RR to RR$),che può esser studiata con procedimenti abbastanza tipici:
dove sbaglio,ragazzi?
Saluti dal web.
Edit:
corretti sfondoni dovuti a cellulare di scorta .

[gugo82]

"theras":dove sbaglio,ragazzi?

Da nessuna parte?!?...

Beh, forse quel \(12\) è un po' azzardato...

[Paolo902]

Vediamo di concludere il lavoro, scrivendo per benino tutto quanto.

Allora, come giustamente osserva theras, la ricorrenza proposta equivale a
\[\begin{cases}
x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n+\arcsin(k\sin{x_{n}})) \\
x_0 := \xi \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right]
\end{cases}.
\]

Claim 1. La successione $(x_n)_n$ è non negativa.

Dimostrazione. Per induzione. La base è ovvia, il passo anche: supponiamo $x_n\ge 0$ allora $\sin x_n \ge 0$ (per ipotesi \( x_n \le \frac{\pi}{2} \)) e dunque anche $arcsin(k\sin x_n) \ge 0$. In definitiva, $x_{n+1} \ge 0$.

Claim 2. La successione $(x_n)_n$ è monotona (strettamente) decrescente.

Dimostrazione. Anche questo per induzione. Si usa il fatto che $k \in (0,1)$ e il fatto che l'arcoseno è monotono.
Base induttiva:
\[
x_1 = \frac{1}{2}(\xi + \arcsin(k\sin{\xi})) < \frac{1}{2}(\xi + \arcsin(\sin \xi)) \le \xi = x_0.
\]
dove la disuguaglianza riesce grazie al fatto che $\xi >0$. Il passo induttivo è analogo; supposto $x_{n+1}>x_{n}$ per ipotesi induttiva, allora vale \( k\sin {x_{n+1}} > k\sin{x_{n}}\) e da ciò si trae
\[
x_{n+2} = \frac{1}{2}(x_{n+1} + \arcsin(k\sin{x_{n+1}})) < \frac{1}{2}(x_n + \arcsin(k\sin{x_{n}})) = x_{n+1}.
\]

Dal claim 2, la successione ammette limite, sia esso \( \ell \). Tale limite è certamente finito (la successione è limitata) e, per quanto visto sopra, necessariamente appartiene all'insieme $\pi\mathbb Z$. Dalle limitazioni imposte su $(x_n)$ si deduce quindi che \( \ell = 0 \). Osserviamo infine che tale valore è indipendente dalla scelta di $k$ e dalla scelta del dato iniziale. Ciò conclude l'esercizio.

Spero di non aver commesso sciocchezze. Grazie

[theras]

@Paolo.
[ot]A proposito di amore per il rigore e le cose ben fatte ..[/ot]
Esattamente quanto intendevo:
l'unica piccola differenza tecnica,ora che ho ritrovato i conticini in merito,è che,con spirito equivalente al tuo,
avevo lavorato sul continuo e più precisamente sullo studio del segno di quella che,
nel mio ultimo post di questo thread,avevo indicato con $f$.
Saluti dal web.

[gugo82]

Si poteva anche osservare che \(f(x):= \frac{1}{2}(x+\arcsin(\kappa\ \sin x))\) è una contrazione, sicché essa ha un unico punto fisso (cioé \(0\)).

Ad ogni modo, questa ricorrenza è legata ad un'altra ricorrenza e l'interagire tra queste due, o meglio il feedback della seconda sulla prima, dovrebbe cambiare le cose un tantinello... Più tardi provo a spiegare meglio.