[Ex] Una EDO

[Bremen000]

Sia dato il PdC

\[ \begin{cases} y'(x) = \sin( y(x) + x^2) \quad \quad & x \in \mathbb{R} \\ y(0)=0 \end{cases}. \]

Si dimostri che esiste un'unica soluzione di classe $C^{\infty}$ definita su tutto $\mathbb{R}$ e che inoltre vale
\[ y(x) >0 \quad \quad x \in (0, \sqrt{\pi}). \]

[anto_zoolander]

mezzo ot

non vorrei dire una mentulata, piuttosto esprimere una cosa di cui non sono certo, e che mi è venuta in mente leggendo questo problema.

Mi sembra che se $y'(x)=f(x,y(x))$, con $f in C^(infty)$, ammette soluzione allora $y in C^(infty)$

questo perchè $y$ è derivabile e $f$ differenziabile quindi per l'uguaglianza $y'$ è derivabile

$y''(x)=d/dx y'(x)=d/dx f(x,y(x))=nablaf(x,y(x))*(1,y'(x)):=f_1(x,y(x),y'(x))$

$f_1$ è differenziabile poiché prodotto scalare tra funzioni che sono tali

in genere poi per induzione si prova che $y^((n))=f_(n-1)(x,y(x),...,y^((n-1))(x))$ con $f_(n-1)$ differenziabile.

[Bremen000]

@anto: direi proprio di sì!

[dissonance]

una mentulata

che bello il siciliano

[Bremen000]

Nel senso che l'esercizio è facile, che io ho scritto una cavolata o quello che ha scritto anto è facile?

EDIT: non avevo letto completamente il messaggio di anto e quindi non avevo capito nulla

[anto_zoolander]

E cosa avevi letto? Era quella la parte importante

[Bokonon]

Ci provo a modo mio...e con dubbio finale.

$y(x)$ è una funzione derivabile, continua e definita ovunque.
La funzione $sin(x)$ è $C^(oo)$
$y'(x)$ è una funzione composta di funzioni derivabili ed è definita ovunque.
Per ricorsività, $y(x)$ è $C^(oo)$
Sappiamo che $-1<=y'(x)<=1$, quindi $y(x)$ è anche lipschitziana. Il T.E.U. ci assicura quindi la sua unicità.

Dall'osservazione precedente e dal fatto che $y'(x)$ è invertibile abbiamo che:
$y(x)=arcsin[y'(x)]-x^2 rArr -pi/2 Quindi $y(x)>0 $ quando $x^2 Poichè $y=x^2 >=0 rArr 0< arcsin[y'(x)]
Dato che $y(0)=0$ è facile mostrare che anche $y'(0)=y''(0)=0$, ovvero l'origine è un punto di flesso.
La vedo crescere, raggiungere un massimo e tornare a zero per $x=sqrt(pi/2)$ per poi restare sempre negativa. Perchè $0

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[Bremen000]

@ Bokonon,

Dunque per quanto riguarda esistenza e unicità direi che siamo anche con un approccio che definirei "inverso". Cioè tu parti subito dicendo "$y(x)$ è una funzione derivabile, continua e definita ovunque", però tecnicamente non sai nemmeno che esiste.

Qui si trattava semplicemente di notare che la EDO è del tipo
\[ y'(x) = f(y(x), x) \]
con $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ di classe $C^{\infty}$ e limitata da $1$. Questo ti garantisce esistenza globale e unicità della soluzione del PdC.

Per il resto, non so se ho capito bene ma non puoi, credo, invertire così l'equazione. Cioè metti che per $x= \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ sia $y(x) = 1000\pi$. Allora $y'(x) = 1$ ma tu scrivendo
\[ \arcsin(y'(x)) = y(x) + x^2 \]
stai scrivendo
\[ \pi/2 = 1000\pi + \pi/2 \].
Che è falso. Cioè per invertire il seno usando $\arcsin : [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ dovresti assicurarti che $y(x) + x^2 \in [-\pi/2, \pi/2]$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ o per lo meno dove vuoi invertire.

[gugo82]

@ anto: [ot]Bello il latinismo…[/ot]

[Bremen000]

Forse l'esercizio era troppo facile? Forse poco stimolante? Scire nefas.

Se fosse invece che non si riesce a risolverlo, suggerimento:

E' immediato vedere che $y(0)=y'(0)=y''(0)=0$ e che $y'''(0)=2$. Quindi esiste un $\epsilon >0$ tale che $y(x) >0$ se $x \in (0, \epsilon)$.
Sia \( I : = \{ x >0 \mid y(x) =0 \} \). Se $I = \emptyset$, abbiamo finito. Se invece $I \ne \emptyset$, sia $x_0$ il suo minimo (c'è?). Può essere che sia $x_0 < \sqrt{\pi}$?

[gugo82]

@ (musicante di) Bremen000:

In realtà non mi sono cimentato aspettando lo facessero altri e più giovani utenti… In mancanza di altre risposte faccio due contarielli e li posto.

[dissonance]

Io rispondo prima che questo esercizio interessante finisca nel dimenticatoio.

Abbiamo detto che \(y\in C^\infty(\mathbb R)\) è strettamente positiva in un intervallo \((0, x_0)\), dove \(x_0>0\), e come da suggerimento supponiamo che \(y(x_0)=0\). Ma allora
\[
y'(x_0)=\lim_{h\to 0^+} \frac{y(x_0)-y(x_0-h)}{h}\le 0.\]
Se fosse \(x_0<\sqrt\pi\), si avrebbe la contraddizione
\[
y'(x_0)=\sin(x_0^2)\ge 0.\]
In conclusione, o \(x_0\) non esiste proprio, o se esiste verifica \(x_0\ge \sqrt\pi\).

[Bremen000]

Ovviamente la soluzione di dissonance è corretta!

E' un peccato (?) che a cimentarsi in questi esercizi non sia qualche utente più giovane!

[dissonance]

"Bremen000":Ovviamente la soluzione di dissonance è corretta!

E' un peccato (?) che a cimentarsi in questi esercizi non sia qualche utente più giovane!

[ot]Ahahah bel modo di darmi dell'anziano [/ot]

[Bremen000]

[ot]Non era assolutamente mia intenzione [/ot]