[EX] Una disuguaglianza per funzioni convesse

[gugo82]

Esercizio:

Sia $f:[a,b]\to \RR$ convessa.
Dimostrare che:
\[
\tag{H-H} f\left( \frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a}\ \intop_a^b f(x)\ \text{d} x \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}\; .
\]

[sandroroma]

Ci vorrebbe una figura....
Siano:
A e B i punti del diagramma di f(x) aventi ascissa a e b;
C il punto di tale diagramma di ascissa $\frac{a+b}{2}$;
t(x) la tangente al suddetto diagrama nel punto C;
A' e B' le proiezioni ortogonali di A e B sull'asse delle ascisse
$A_o,B_o$ le intersezioni di t(x) con le ordinate di A e B
L'equazione di t(x) è:
$t(x)=f(\frac{a+b}{2})+f'(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})$
Dalla figura si ricava che l'area della parte di piano limitata curva e dall'intervallo [a,b]
è compresa tra l'area del trapezio $A'B'B_oA_o$ e l'area del trapezio $A'B'BA$
Effettuando i calcoli si ricava la relazione da dimostrare.

[Plepp]

"sandroroma":Ci vorrebbe una figura....
Siano:
A e B i punti del diagramma di f(x) aventi ascissa a e b;
C il punto di tale diagramma di ascissa $\frac{a+b}{2}$;
t(x) la tangente al suddetto diagrama nel punto C;
A' e B' le proiezioni ortogonali di A e B sull'asse delle ascisse
$A_o,B_o$ le intersezioni di t(x) con le ordinate di A e B
L'equazione di t(x) è:
$t(x)=f(\frac{a+b}{2})+f'(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})$
Dalla figura si ricava che l'area della parte di piano limitata curva e dall'intervallo [a,b]
è compresa tra l'area del trapezio $A'B'B_oA_o$ e l'area del trapezio $A'B'BA$
Effettuando i calcoli si ricava la relazione da dimostrare.

Mi sembra che vada benissimo a patto di sapere che

[*:rk1hqnpd] $f$ è derivabile in ${a+b}/2$ (non è detto che lo sia);[/*:m:rk1hqnpd]
[*:rk1hqnpd] $f(x)\ge t(x)$ per $x\in[a,b]$ (pur supponendo $f$ derivabile, il problema diventa dimostrare questa disuguaglianza).[/*:m:rk1hqnpd][/list:u:rk1hqnpd]

[javicemarpe]

For the first inequality, observe that $\frac{a+b}{2}=\frac{1}{b-a}\int_a^b xdx$ so, as $f$ is a convex function, Jensen's inequality proves that:
$$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b xdx\right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx.$$

For the second one, you just have to make the change of variables $x=(1-t)a+tb$, $t\in[0,1]$ and use the convexity of $f$ inside the integral. Then, you integrate and obtain the desired result.