[EX] Una disuguaglianza per funzioni $C^1$

[gugo82]

Un esercizio che, con un po' di buona volontà, può essere risolto da chiunque abbia studiato Analisi I.

Esercizio:

1. Dimostrare che la disuguaglianza:
\[
\tag{1} \max_{x\in [a,b]} |u(x)| \leq \frac{b-a}{2}\ \max_{x\in [a,b]} |u^\prime (x)|\ + \frac{1}{b-a}\ \int_a^b |u(y)|\ \text{d} y
\]
vale per ogni \(u\in C^1([a,b])\).

2. Esistono funzioni \(u\in C^1([a,b])\) che soddisfano la (1) col segno d'uguaglianza?

[Gaal Dornick]

2)

La funzione nulla!

Ok, ora ci penso seriamente!

[Paolo902]

Sia $varepsilon \in (0, \pi/2)$ un numero reale opportuno. Si consideri $u: [-varepsilon, varepsilon] \to RR$, $x \mapsto cos(x)$. E' evidente che $u$ è regolare quanto ci pare e il primo membro della tua disuguaglianza vale 1 ($0 \in [-varepsilon, varepsilon]$); ora $(b-a)^2/2=2varepsilon^2$ e ${du}/dx=-sinx$ cosicché $max_{x \in [-varepsilon, varepsilon]} |sin x| = sin varepsilon$. Ancora, $\int_{-varepsilon}^{\varepsilon} |cosx|dx=2\int_{0}^{\varepsilon} cosxdx=2sin(varepsilon)$.

In definitiva, avremmo $1 \le 2varepsilon^2 sin(varepsilon) + 2sin(varepsilon)$. Ma a patto di prendere $varepsilon$ abbastanza piccolo, il secondo membro è più piccolo di 1 (tende a zero!) e la disuguaglianza sarebbe violata.

Che mi perdo?

[gugo82]

@Paolo90: Infatti avevo sbagliato a "riportare" la disuguaglianza in \([a,b]\) (l'avevo provata in \([0,1]\))...

Grazie per avermi fatto notare l'abbaglio. Ora correggo.

[Paolo902]

Prego, figurati.

Ad ogni modo, direi che ora ci sono e mi torna tutto. Alla fine è un bel giochetto e non è difficile, basta davvero solo un po' di Analisi I. In sostanza, si gioca tutto sul fatto che $C^1$ implica localmente lipschitziano.

Formalmente, per ogni $x,y \in [a,b]$, possiamo scrivere $|u(x)| = |u(x)-u(y)+u(y)|\le |u(x)-u(y)|+|u(y)|$ (da ora in poi i massimi, dove non indicato, si intenderanno presi su $[a,b]$). Giocando con il teorema di Lagrange, riusciamo a maggiorare l'addendo [tex]\vert u(x)-u(y) \vert \le \max \vert u'(x)\vert \vert x-y \vert[/tex], ottenendo così
\[
|u(x)| \le \max |u'(x)| |x-y| + |u(y)|
\]

Integrando m.a.m. (in $dy$) su $[a,b]$ si ha
\[
(b-a)|u(x)| \le \max |u'(x)|\int_a^b |x-y|dy + \int_a^b|u(y)|dy
\]
e tutto sta nel calcolarsi l'integrale $int_a^b |x-y|dy = \int_a^x (x-y)dy + \int_x^b (y-x)dy = x^2 - (a+b)x+(a^2+b^2)/2=p(x)$. Questa è una parabola convessa con vertice esattamente nel punto medio di $[a,b]$ e quindi possiamo maggiorare tutta l'espressione con $p(a)$ (o, il che è lo stesso, $p(b)$) cioé $p(a)=(b-a)^2/2$ ottenendo in tal modo una stima uniforme in $x$. A questo punto è chiaro come si finisce:
\[
(b-a)|u(x)| \le \max |u'(x)|\int_a^b |x-y|dy + \int_a^b|u(y)|dy \le \max |u'(x)|\frac{(b-a)^2}{2} + \int_a^b|u(y)|dy
\]
Dividendo per $(b-a)>0$ e sfruttando l'arbitrarietà di $x$, si ha la tesi.

Grazie

P.S. Sorry, non so da dove mi sia uscita quella schifezza. Sei stato rapidissimo a "sgamarmi". Comunque ora ho editato. Grazie ancora

[gugo82]

Mmmm... \(\max |u|\leq |u(x)|\)???

[Paolo902]

Ho editato il mio precedente messaggio.

[gugo82]

Corretto!

Era semplice, in fondo.

E per quanto riguarda il punto 2?


@Gaal Dornick: Apprezzo il tentativo, Gaal, ma la funzione nulla è un po' banale, no?

[Gaal Dornick]

Non sono ancora soddisfatto della risposta che darò, però val la pena dire un po' di cose che ho pensato. Assumiamo la funzione $u$ positiva.

Questa disuguaglianza ci dice che: la distanza tra il massimo della funzione in $[a,b]$ e la sua media è controllata con $\frac{b-a}{2} ||u'||_{oo}$. Cioè:

$|| u - \bar u ||_{oo} <= \frac{b-a}{2} ||u'||_{oo}$,
ove $\bar u$ è la media di $u$ su $[a,b]$.
In generale, (non so, ma ci credo) si può generalizzare il tutto a funzioni lipshitziane, e leggere l'espressione sopra in senso quasi ovunque (ogni funzione lipshitziana è quasi ovunque derivabile). Cioè possiamo generalizzare al caso $u \in W^{1,oo}$. In generale (si chiama disuguaglianza di Poincarè-Wirtinger - per esempio trovate una scarna referenza sul Brezis) è vero che, se $u\in W^{1,p}$, è vero che
$|| u - \bar u ||_{p} <= \frac{b-a}{2} ||u'||_{p}$.


Insomma, tutto questo mi lascia pensare che la chiave giusta per trovare una caratterizzazione delle funzioni che verificano l'uguaglianza sia pensare a qualcosa che riguardi la lipshitzianità. In effetti, in $[0,1]$ la funzione $x$ verifica l'uguaglianza, però $x^2$ (che pure è lipshitziana) non la verifica.

Ci penserò.

[theras]

Ciao!
Mah..a me sembra che neanche la $f(x)=x:[0,1]->RR$ soddisfi quell'uguaglianza;
però ritengo d'essere riuscito a provare che nessuna funzione del tipo $g(x)=e^(alphax)$ può soddisfare la (1) col segno di uguale,
e questo magari permette di far qualche congettura ben fondata su una relazione logica tra la richiesta fatta e la Lipschitzianità dell'eventuale f:
solo che non giurerei su questo fatto,nè sul fatto che eventualmente potrebbe esserci utile nella ricerca d'una f "buona"..
Ci rifletto un pò:
saluti dal web.

[gugo82]

@Gaal: Certo, la disuguaglianza funziona ancora per le funzioni di \(W^{1,\infty} (a,b)\).
La disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger è simile a quella proposta, però non è proprio quella lì.

Per quanto riguarda il caso d'uguaglianza, ho la seguente:

Congettura: una funzione \(\bar{u}\in W^{1,\infty} (a,b)\) soddisfa l'uguaglianza in (1) se e solo se \(\bar{u}\) è una funzione affine che non ha zeri in \(]a,b[\), cioè se e solo se esistono \(m, q\in \mathbb{R}\) tali che \(\bar{u}(x)=m\ x+q\) per \(x\in [a,b]\) e \(-q/m \notin ]a,b[\).

Tuttavia non sono ancora riuscito a provarla.
Infatti, la parte del "se" si fa con due conti o, più velocemente, con un disegnino (qualora si sia afferrato il significato geometrico della disuguaglianza (1)); la parte del "solo se" invece credo sia brutina e non mi è riuscita finora.

[theras]

Chiedo venia,in particolar modo a Gaal,per l'erroraccio in merito all'esempio delle funzione identità!
M'ero sognato un apice dentro la funzione integranda del testo proposto,
ed infatti non riuscivo a dimostrare la disuguaglianza ma solo a negare la possibilità del segno d'uguale nel caso da me proposto
(per la serie il Sabato a casa è buono solo per recuperare sonno..);
me ne sono accorto quando,sbattendo sempre su qualche muro nei miei tentativi di verifica
(che tra l'altro partivano male,anche nella ricerca delle funzioni buone per l'uguaglianza,
proprio perchè iniziavo dall'ovvia constatazione che quel fantomatico $int_a^b|mu'(x)|dx$ servisse solo a rendere quell'integrale una specie d'indicatore del tipo di monotonia della $mu$ in sottointervalli di $[a,b]$..),
ho infine guardato la bella dimostrazione di Paolo:
a tal proposito,una volta ripresomi dagli improperi che mi son rivolto e leggendo poi il post con più attenzione,
mi chiedo(forse ingenuamente!)se la strada per la verifica della condizione sufficente congetturata da Gugo non possa esser quella di verificare che le funzioni da lui proposte possan esser le sole a non far saltare mai un uguale in quel ragionamento asciutto ed efficace..
Saluti dal web.