[EX] Un problema sulle EDO
Il seguente semplice esercizio è pensato per chi prepara Analisi II, cioè per spingere gli studenti a ragionare fino in fondo su ciò che si trovano davanti agli occhi quando risolvono un problema.
Pertanto chiederei a tali studenti di cimentarsi col problema e, specialmente, sulla sua sua parte più argomentativa.
***
È (o dovrebbe essere) una cosa ben nota a tutti gli studenti coscienziosi di Analisi che per determinare un'unica soluzione di una EDO del secondo ordine è necessario assegnare almeno due opportune condizioni (che possono essere condizioni iniziali a là Cauchy, o condizioni al bordo "indipendenti", o altro)... Il seguente esercizio sembrerebbe confutare questa conclusione dettata dal senso comune (e da numerosi teoremi).
Esercizio:
Fissato \(\omega >0\), dimostrare che esiste un'unica soluzione della EDO:
\[
\tag{1}
y^{\prime \prime} (t) + \omega^2\ y(t) = \sin (\omega\ t)
\]
che soddisfa la condizione:
\[
\tag{2}
\lim_{t\to 0} \frac{y(t)}{t} =1\; .
\]
Perché ciò accade? [Argomentare circa l'unicità della soluzione in rapporto all'unica condizione imposta.]
Pertanto chiederei a tali studenti di cimentarsi col problema e, specialmente, sulla sua sua parte più argomentativa.
***
È (o dovrebbe essere) una cosa ben nota a tutti gli studenti coscienziosi di Analisi che per determinare un'unica soluzione di una EDO del secondo ordine è necessario assegnare almeno due opportune condizioni (che possono essere condizioni iniziali a là Cauchy, o condizioni al bordo "indipendenti", o altro)... Il seguente esercizio sembrerebbe confutare questa conclusione dettata dal senso comune (e da numerosi teoremi).
Esercizio:
Fissato \(\omega >0\), dimostrare che esiste un'unica soluzione della EDO:
\[
\tag{1}
y^{\prime \prime} (t) + \omega^2\ y(t) = \sin (\omega\ t)
\]
che soddisfa la condizione:
\[
\tag{2}
\lim_{t\to 0} \frac{y(t)}{t} =1\; .
\]
Perché ciò accade? [Argomentare circa l'unicità della soluzione in rapporto all'unica condizione imposta.]
Risposte
l'integrale generale dell'equazione è
$y=c_1cosomegat+c_2senomegat-1/(2omega)tcosomegat$
la condizione imposta implica che debba essere $c_1=0$
quindi
$lim_{t \to 0}(y(t))/t=omegac_2-1/(2omega)=1$
che ha come soluzione $c_2=(2omega+1)/(2omega^2)$
$y=c_1cosomegat+c_2senomegat-1/(2omega)tcosomegat$
la condizione imposta implica che debba essere $c_1=0$
quindi
$lim_{t \to 0}(y(t))/t=omegac_2-1/(2omega)=1$
che ha come soluzione $c_2=(2omega+1)/(2omega^2)$
E questo risponde alla parte di bieco ed elementare calcolo... Che non era la questione centrale dell'esercizio (come detto nell'introduzione). Per il resto?
beh, perchè quella condizione vale per 2 :
equivale a dire $y(0)=0;y'(0)=1$
equivale a dire $y(0)=0;y'(0)=1$
"porzio":
beh, perchè quella condizione vale per 2 :
equivale a dire $y(0)=0;y'(0)=1$
E perché "vale per due"?
I valori di \(y\) ed \(y^\prime\) non dovrebbero essere la prima cosa che viene in mente, quando s'impone la condizione...
la soluzione è continua ed ha derivata continua in $t=0$
la condizione impone che $lim_{t \to 0}y(t)=y(0)=0$
inoltre,applicando de l'hospital,$lim_{t \to 0} (y(t))/t=lim_{t \to 0}y'(t)=y'(0)=1$
la condizione impone che $lim_{t \to 0}y(t)=y(0)=0$
inoltre,applicando de l'hospital,$lim_{t \to 0} (y(t))/t=lim_{t \to 0}y'(t)=y'(0)=1$
Ho capito, porzio. Ma vorrei spostare la tua attenzione sulla condizione in sé, piuttosto che sulle sue ricadute sulla funzione \(y\)... Insomma, già dalla condizione in sé dovrebbe essere chiaro che c'è una duplice richiesta: perché?
Non è chiaro neanche a me 
Beh, richiedere che la soluzione soddisfi:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{y(t)}{t} =1
\]
è già una duplice richiesta: infatti, tale condizione consiste nel richiedere 1 che il limite proposto esista e 2 che esso assuma il valore indicato; le condizioni 1 e 2, di solito (ma non sempre), sono "indipendenti" nel senso che, in generale, l'esistenza di un limite non ne prescrive il valore.
Ed infatti, quando si impone la condizione sull'integrale generale della EDO, che è:
\[
y(t;\omega;c_1,c_2) := c_1\cos \omega t + c_2\sin \omega t + 1/(2\omega)\ t\cos \omega t \; ,
\]
si vede che il limite \(\lim_{t\to 0} y(t)/t\):
[list=1][*:1vn94h21] esiste solo se \(c_1=0\);
[/*:m:1vn94h21]
[*:1vn94h21] assume il valore \(1\) solo se \(c_2= \frac{2\omega +1}{\omega^2}\).[/*:m:1vn94h21][/list:o:1vn94h21]
Quindi, come dicevo sopra, l'esistenza del limite "blocca" una costante, mentre il valore del limite "blocca" l'altra.
\[
\lim_{t\to 0} \frac{y(t)}{t} =1
\]
è già una duplice richiesta: infatti, tale condizione consiste nel richiedere 1 che il limite proposto esista e 2 che esso assuma il valore indicato; le condizioni 1 e 2, di solito (ma non sempre), sono "indipendenti" nel senso che, in generale, l'esistenza di un limite non ne prescrive il valore.
Ed infatti, quando si impone la condizione sull'integrale generale della EDO, che è:
\[
y(t;\omega;c_1,c_2) := c_1\cos \omega t + c_2\sin \omega t + 1/(2\omega)\ t\cos \omega t \; ,
\]
si vede che il limite \(\lim_{t\to 0} y(t)/t\):
[list=1][*:1vn94h21] esiste solo se \(c_1=0\);
[/*:m:1vn94h21]
[*:1vn94h21] assume il valore \(1\) solo se \(c_2= \frac{2\omega +1}{\omega^2}\).[/*:m:1vn94h21][/list:o:1vn94h21]
Quindi, come dicevo sopra, l'esistenza del limite "blocca" una costante, mentre il valore del limite "blocca" l'altra.
E' vero 
insomma,tutto un giro di parole per dare alla fine la risposta che avevo dato io nel primo post
evidentemente,ripetuta dal moderatore globale ha un'altra dignità e non è più bieco calcolo
evidentemente,ripetuta dal moderatore globale ha un'altra dignità e non è più bieco calcolo
@ porzio: Sinceramente non capisco la nota polemica.
Avevo capito che ci eri arrivato: infatti ti ho fatto delle domande con l'intento di fare uscire allo scoperto questa intuizione, che era insita nella risposta ma mascherata dal bieco calcolo. Dopotutto, il succo dell'esercizio risiedeva nel verbo "argomentare", no?
Inoltre, che c'entra in tutta questa questione l'essere moderatore globale?
Non mi sembra che il ricoprire un ruolo di controllore (che mi è stato assegnato dopo anni di partecipazione attiva e collaborativa sul forum) mi fornisca un'autorità matematica maggiore di quella che già ho, dopo aver studiato Matematica per quasi metà della mia vita. Mah...
Avevo capito che ci eri arrivato: infatti ti ho fatto delle domande con l'intento di fare uscire allo scoperto questa intuizione, che era insita nella risposta ma mascherata dal bieco calcolo. Dopotutto, il succo dell'esercizio risiedeva nel verbo "argomentare", no?
Inoltre, che c'entra in tutta questa questione l'essere moderatore globale?
Non mi sembra che il ricoprire un ruolo di controllore (che mi è stato assegnato dopo anni di partecipazione attiva e collaborativa sul forum) mi fornisca un'autorità matematica maggiore di quella che già ho, dopo aver studiato Matematica per quasi metà della mia vita. Mah...
apprezzo il chiarimento
Ed io apprezzo che tu abbia apprezzato; ma, credimi, apprezzerei di più se ciò non capitasse mai più.
questo è sicuro,perchè mi guarderò bene dal rispondere ad altre discussioni aperte da te
@ porzio: Francamente, sono ben stupito. Certe risposte stento davvero a capirle. 
Fammi ben capire: non posso nemmeno auspicare che una caduta di stile (per usare un eufemismo) come quella precedente non si verifichi più?
Mah...
Potrei avere l'ardire di chiedere perché la sua persona si sente minacciata da un povero mortale come il sottoscritto?
P.S.: Tanto per essere chiaro: non sono abituato a minacciare alcuno. Ma da quanto ho letto qui deduco che non tutti condividono questa mia impostazione.
D'altro canto, come saggiamente diceva il filosofo, "l'uomo è la misura di tutte le cose" e cioé ognuno giudica attraverso le proprie esperienze ed il proprio carattere: quindi è molto probabile che le mie parole, pacifiche ancorché severe, possano sembrare altro.
Chi dovrebbe modificare l'approccio? Chi scrive o chi legge?
Ai lettori l'ardua sentenza.
Fammi ben capire: non posso nemmeno auspicare che una caduta di stile (per usare un eufemismo) come quella precedente non si verifichi più?
Mah...
Potrei avere l'ardire di chiedere perché la sua persona si sente minacciata da un povero mortale come il sottoscritto?
P.S.: Tanto per essere chiaro: non sono abituato a minacciare alcuno. Ma da quanto ho letto qui deduco che non tutti condividono questa mia impostazione.
D'altro canto, come saggiamente diceva il filosofo, "l'uomo è la misura di tutte le cose" e cioé ognuno giudica attraverso le proprie esperienze ed il proprio carattere: quindi è molto probabile che le mie parole, pacifiche ancorché severe, possano sembrare altro.
Chi dovrebbe modificare l'approccio? Chi scrive o chi legge?
Ai lettori l'ardua sentenza.
Mah , io la chiuderei qui .Era un esercizio simpatico , non banale, vi siete pizzicati a mio parere un po' fuori luogo.
Aspetto da gugo altri esercizi non banali che possano dar luogo a confronti più sereni.
Aspetto da gugo altri esercizi non banali che possano dar luogo a confronti più sereni.
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