[EX] Un po' di questioni sugli spazi $L^p$
1) Se $X \subset RR^n$ è un insieme misurabile di misura finita, allora
$L^p(X) \subset L^q(X)$ con immersione continua, se $p>q$.
[E' noto a tutti o dovrebbe..]
2) Se $L^p(RR^n) \subset L^q(RR^n)$ allora $p=q$.
3) $L^p(RR^n)$ ed $L^q(RR^n)$ hanno un'intersezione densa in entrambi gli spazi.
In realtà sono questioni elementari, invito i più "piccini" a provarci. L'obbiettivo è riflettere un po' su come sono fatti gli spazi $L^p(RR^n)$: cambiano, non troppo, ma cambiano.
Per il 2) propongo un suggerimento:
$L^p(X) \subset L^q(X)$ con immersione continua, se $p>q$.
[E' noto a tutti o dovrebbe..]
2) Se $L^p(RR^n) \subset L^q(RR^n)$ allora $p=q$.
3) $L^p(RR^n)$ ed $L^q(RR^n)$ hanno un'intersezione densa in entrambi gli spazi.
In realtà sono questioni elementari, invito i più "piccini" a provarci. L'obbiettivo è riflettere un po' su come sono fatti gli spazi $L^p(RR^n)$: cambiano, non troppo, ma cambiano.
Per il 2) propongo un suggerimento:
Risposte
Non capisco se è ovvio/scocciante oppure sono stato oscuro. Forse la prima.
In particolare, volevo farvi vedere la 2: una cosa molto semplice, ma che ho scoperto solo ora. Cioè: come mai sappiamo la 1 in tutte le salse, ma non sappiamo la 2?
Un po' come scoprire "da grandi" che $x^{\alpha}$ è $\alpha$-holderiana ($0<\alpha<1$): se me lo dicevate subito, non era male!
Rendo il suggerimento al 2 più chiaro:
In particolare, volevo farvi vedere la 2: una cosa molto semplice, ma che ho scoperto solo ora. Cioè: come mai sappiamo la 1 in tutte le salse, ma non sappiamo la 2?
Un po' come scoprire "da grandi" che $x^{\alpha}$ è $\alpha$-holderiana ($0<\alpha<1$): se me lo dicevate subito, non era male!
Rendo il suggerimento al 2 più chiaro:
No, Gaal, non è colpa tua o dell'esercizio...
Ormai c'è poca gente che ha voglia di risolvere esercizi. Questo è tutto.
Ormai c'è poca gente che ha voglia di risolvere esercizi. Questo è tutto.
Allora ho preso la funzione $ sin(x) $ ed ho visto che è in L1,L2,etc.. infatti $ int_{0}^{pi/2}sin(x)dx = 1, int_{0}^{pi/2}sin^2(x) = pi/4, ||sin(x)||infty = 1 $; qui mi sorge il primo dubbio: abbiamo detto che in un intervallo limitato $ L^infty sub ... sub L^2 sub L^1 $, come mai invece qui $ L^1 sup L^2 sub L^infty $?
Poi ho visto che su intervalli illimitati le funzioni non sono gestibilissime, per esempio la funzione precedente non rispetta le precedenti inclusioni: $ int_{R}sin(x)dx $ non è calcolabile, mentre $ ||sin(x)||infty = 1 $; oppure colla funzione caratteristica che ha menzionato gugo vale lo stesso ragionamento. Però non ho capito la riflessione sulla dilatazione: per esempio ho preso la funzione $ f(x) = chi[0,1] $ ed ho visto che è in qualsiasi L(R) e la sua dilatazione è $ f(nx) = chi[0,1/n] rArr f(nx) in L^p if 1<=p
Forse non mi sono proprio chiari gli spazi L
Poi ho visto che su intervalli illimitati le funzioni non sono gestibilissime, per esempio la funzione precedente non rispetta le precedenti inclusioni: $ int_{R}sin(x)dx $ non è calcolabile, mentre $ ||sin(x)||infty = 1 $; oppure colla funzione caratteristica che ha menzionato gugo vale lo stesso ragionamento. Però non ho capito la riflessione sulla dilatazione: per esempio ho preso la funzione $ f(x) = chi[0,1] $ ed ho visto che è in qualsiasi L(R) e la sua dilatazione è $ f(nx) = chi[0,1/n] rArr f(nx) in L^p if 1<=p
Forse non mi sono proprio chiari gli spazi L
"nello_1981":
Allora ho preso la funzione $ sin(x) $ ed ho visto che è in L1,L2,etc.. infatti $ int_{0}^{pi/2}sin(x)dx = 1, int_{0}^{pi/2}sin^2(x) = pi/4, ||sin(x)||infty = 1 $; qui mi sorge il primo dubbio: abbiamo detto che in un intervallo limitato $ L^infty sub ... sub L^2 sub L^1 $, come mai invece qui $ L^1 sup L^2 sub L^infty $?
Dal fatto che esista una sola funzione appartenente a \(L^1\cap L^2\cap L^\infty\), come fai a dedurre quelle inclusioni?
"nello_1981":
colla funzione
Bah, io non scriverei "colla".
http://www.treccani.it/vocabolario/colla/
Ti faccio notare che non ho proposto una verità, ma un esercizio. Insomma, vediamo un po' se ti viene l'idea giusta! Un modo è con lo strumento che ho proposto io.. Vediamo un po'.
@Gaal Dorncik: << Le preposizioni articolate derivate da "con" (collo, colla, cogli, colle, col, coi) e da "per" (pel, pello, pella, pegli, pelle, pei) sono usate raramente nel linguaggio moderno. Al loro posto si usano solitamente le forme separate (con lo, con la, con gli, con le, con il, con i; per il, per lo, per la, per gli, per le, per i). >> (http://it.wikipedia.org/wiki/Preposizione) Ma ciò non vuol dire che non è italiano, giusto?
@gugo82:
Allora forse non mi è chiaro il concetto di inclusione....
Se ho una funzione dove $ ||f(x)||1 < ||f(x)||2 $ allora posso scrivere che, per questa funzione, per le norme in L vale l'inclusione $ L^2 sub L^1 $? Cioè le inclusioni degli spazi L di una funzione sono determinati dai valori numerici del calcolo della norma di tale funzione?
@gugo82:
"gugo82":
Dal fatto che esista una sola funzione appartenente a L1∩L2∩L∞, come fai a dedurre quelle inclusioni?
Allora forse non mi è chiaro il concetto di inclusione....
Se ho una funzione dove $ ||f(x)||1 < ||f(x)||2 $ allora posso scrivere che, per questa funzione, per le norme in L vale l'inclusione $ L^2 sub L^1 $? Cioè le inclusioni degli spazi L di una funzione sono determinati dai valori numerici del calcolo della norma di tale funzione?
Se hai due insiemi \(A,B\), quand'è che scrivi \(A\subseteq B\)?
"gugo82":
Se hai due insiemi A,B, quand'è che scrivi A⊆B?
Quando tutti gli elementi di A sono nello spazio B, però quando vado a calcolare la norma in L calcolo un numero non un insieme di numeri...boh invece di capirci di più mi sembra di iniziare a capirne di meno...
Ho svolto un nuovo esercizio:
$ ||x^alpha||L^1[0,1] = 1/(alpha +1); ||x^alpha||L^2[0,1] = 1/(2alpha +1); ||x^alpha||L^3[0,1] = 1/(3alpha +1); ||x^alpha||L^n[0,1] = 1/(nalpha +1); $
ed infine: $ ||x^alpha||L^infty[0,1] = 1 $.
In questo caso posso esplicitamente includere gli spazi in questo modo: $ L^1[0,1] sup L^2[0,1] sup L^3[0,1] sup L^n[0,1] sup L^infty[0,1] $ ?
$ ||x^alpha||L^1[0,1] = 1/(alpha +1); ||x^alpha||L^2[0,1] = 1/(2alpha +1); ||x^alpha||L^3[0,1] = 1/(3alpha +1); ||x^alpha||L^n[0,1] = 1/(nalpha +1); $
ed infine: $ ||x^alpha||L^infty[0,1] = 1 $.
In questo caso posso esplicitamente includere gli spazi in questo modo: $ L^1[0,1] sup L^2[0,1] sup L^3[0,1] sup L^n[0,1] sup L^infty[0,1] $ ?
[ot]Salve Gaal Dornick,
Bah, io non scriverei "colla".
http://www.treccani.it/vocabolario/colla/
[/quote]
già che "colla" è presente nella treccani dovrebbe significare qualcosa.
Cordiali saluti[/ot]
"Gaal Dornick":
[quote="nello_1981"] colla funzione
Bah, io non scriverei "colla".
http://www.treccani.it/vocabolario/colla/
[/quote]
già che "colla" è presente nella treccani dovrebbe significare qualcosa.
Cordiali saluti[/ot]
@nello_1981: Cos'è \(L^1\)?
Beh, è un insieme di (classi di equivalenza di) funzioni.
Quindi scrivere \(L^2(X)\subseteq L^1(X)\) significa che ogni "funzione" di \(L^2(X)\) sta pure in \(L^1(X)\); viceversa, quando scrivi \(L^1(X)\subseteq L^2(X)\) significa che ogni "funzione" di \(L^1(X)\) sta anche in \(L^2(X)\).
Ora, se \(X\) ha misura finita (i.e. \(\mu (X)<\infty\)), c'è l'inclusione \(L^2(X)\subseteq L^1(X)\): infatti la disuguaglianza di Hölder implica \(\|u\|_{L^1(X)}\leq \sqrt{\mu (X)}\ \| u\|_{L^2(X)}\) e quindi \(\| u\|_{L^2(X)} <\infty \ \Rightarrow\ \| u\|_{L^1(X)} <\infty\), cioè:
\[
u\in L^2(X) \quad \Rightarrow \quad u\in L^1(X)
\]
per ogni funzione \(u\in L^2(X)\).
D'altra parte, il fatto di aver provato che esiste una \(u\in L^1(X)\) tale che \(\| u\|_{L^2(X)} <\infty\) non ti assicura che \(L^1(X)\subseteq L^2(X)\), ma ti assicura solo che l'insieme \(L^1(X)\cap L^2(X)\neq \varnothing\).
Per dimostrare che \(L^1(X)\not\subseteq L^2(X)\) anche nel caso di spazi di misura finita basta considerare la funzione \(u:]0,1]\to [0,\infty[\) definita ponendo:
\[
u(x):= \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}\ \chi_{]1/(n+1), 1/n]} (x) = \begin{cases} 1 &\text{, se } 1/2
e calcolarne \(\| u\|_{L^1(0,1)}\) ed \(\| u\|_{L^2(0,1)}\).
[xdom="gugo82"]Non esageriamo con gli OT grammaticali, anche perché non ce n'è affatto bisogno (infatti "colla" è una preposizione articolata, così come "della", "dalla", etc..., pur avendo un non so che di arcaico).[/xdom]
Beh, è un insieme di (classi di equivalenza di) funzioni.
Quindi scrivere \(L^2(X)\subseteq L^1(X)\) significa che ogni "funzione" di \(L^2(X)\) sta pure in \(L^1(X)\); viceversa, quando scrivi \(L^1(X)\subseteq L^2(X)\) significa che ogni "funzione" di \(L^1(X)\) sta anche in \(L^2(X)\).
Ora, se \(X\) ha misura finita (i.e. \(\mu (X)<\infty\)), c'è l'inclusione \(L^2(X)\subseteq L^1(X)\): infatti la disuguaglianza di Hölder implica \(\|u\|_{L^1(X)}\leq \sqrt{\mu (X)}\ \| u\|_{L^2(X)}\) e quindi \(\| u\|_{L^2(X)} <\infty \ \Rightarrow\ \| u\|_{L^1(X)} <\infty\), cioè:
\[
u\in L^2(X) \quad \Rightarrow \quad u\in L^1(X)
\]
per ogni funzione \(u\in L^2(X)\).
D'altra parte, il fatto di aver provato che esiste una \(u\in L^1(X)\) tale che \(\| u\|_{L^2(X)} <\infty\) non ti assicura che \(L^1(X)\subseteq L^2(X)\), ma ti assicura solo che l'insieme \(L^1(X)\cap L^2(X)\neq \varnothing\).
Per dimostrare che \(L^1(X)\not\subseteq L^2(X)\) anche nel caso di spazi di misura finita basta considerare la funzione \(u:]0,1]\to [0,\infty[\) definita ponendo:
\[
u(x):= \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}\ \chi_{]1/(n+1), 1/n]} (x) = \begin{cases} 1 &\text{, se } 1/2
e calcolarne \(\| u\|_{L^1(0,1)}\) ed \(\| u\|_{L^2(0,1)}\).
[xdom="gugo82"]Non esageriamo con gli OT grammaticali, anche perché non ce n'è affatto bisogno (infatti "colla" è una preposizione articolata, così come "della", "dalla", etc..., pur avendo un non so che di arcaico).[/xdom]
"Gaal Dornick":
[...]
3) $L^p(RR^n)$ ed $L^q(RR^n)$ hanno un'intersezione densa in entrambi gli spazi.
[...]
So che questo è necroposting, ma l'esercizio è rimasto irrisolto, ed è da un po' che in questa stanza non si parla di cose serie.
Ora, è un fatto noto che se \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) è un aperto, allora \(\mathcal{C}^\infty _c(\Omega )\) (funzioni smooth a supporto compatto) è denso in \(L^p (\Omega)\) per ogni \(p \ne \infty\). Quindi per \(\Omega = \mathbb{R}^N\) si ha \(\mathcal{C}^{\infty}_c (\mathbb{R}^N) \subseteq L^p(\mathbb{R}^N) \cap L^q(\mathbb{R}^N)\) e questo dovrebbe essere sufficiente. Quello che non so è se questo fatto rimane vero quando \(p\) o \(q=\infty\)...
Propongo un rilancio: mostrare che \(\mathcal{C}^0_b(\Omega)\) (funzioni continue limitate) non è denso in \(L^\infty(\Omega)\).
"Delirium":
[quote="Gaal Dornick"][...]
3) $L^p(RR^n)$ ed $L^q(RR^n)$ hanno un'intersezione densa in entrambi gli spazi.
[...]
So che questo è necroposting, ma l'esercizio è rimasto irrisolto, ed è da un po' che in questa stanza non si parla di cose serie.
Ora, è un fatto noto che se \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) è un aperto, allora \(\mathcal{C}^\infty _c(\Omega )\) (funzioni smooth a supporto compatto) è denso in \(L^p (\Omega)\) per ogni \(p \ne \infty\). Quindi per \(\Omega = \mathbb{R}^N\) si ha \(\mathcal{C}^{\infty}_c (\mathbb{R}^N) \subseteq L^p(\mathbb{R}^N) \cap L^q(\mathbb{R}^N)\) e questo dovrebbe essere sufficiente.[/quote]
Ovvio.
[quote=Delirium]Quello che non so è se questo fatto rimane vero quando \(p\) o \(q=\infty\)...[quote]
No.
Infatti, già $C_c$ non è denso in $L^\infty$ (poiché la sua chiusura in noma $\infty$ è lo spazio $C_0$ delle funzioni continue ed infinitesime sulla frontiera di $\Omega$), figurati se può esserlo $C_c^\infty$...
Wow!
Necroposting si!
E' un pezzo di passato che torna.. E scrivo questo messaggio perchè è il mio 999esimo!
Ciao a tutti, ho passato un bel pezzo di vita qua.
Necroposting si!
E' un pezzo di passato che torna.. E scrivo questo messaggio perchè è il mio 999esimo!
Ciao a tutti, ho passato un bel pezzo di vita qua.
"Gaal Dornick":
Wow!
Necroposting si!
E' un pezzo di passato che torna.. E scrivo questo messaggio perchè è il mio 999esimo!
Ciao a tutti, ho passato un bel pezzo di vita qua.
Passa ancora! I bei problemi/threads di Analisi (quella seria, dico) non sono mai troppo pochi
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