[EX] Un esercizietto carino su integrali e polinomi.

[Gaal Dornick]

Si consideri $\varphi : [x_1,x_2]\to \R$ una funzione continua a tratti. Vale la seguente equivalenza:

a) Esiste $c\in RR$ tale che $\varphi=c$

b) per ogni $eta$ continua a tratti, tale che
$\int_{x_1}^{x_2} eta(x) dx=0$,
si ha
$\int_{x_1}^{x_2} varphi(x) eta(x) dx =0$ ($\varphi$ è ortogonale a tutte le funzioni a media nulla)

Rilancio! Nelle stesse ipotesi su $\varphi$, vale la seguente equivalenza:

a) Esistono $c_0,..,c_n \in RR$ tali che $\varphi(x)=c_0+..+c_n x^n$

b) per ogni $eta$ continua a tratti, tale che
$\int_{x_1}^{x_2} eta(x) dx=0$, $\int_{x_1}^{x_2} x eta(x) dx=0$, ..., $\int_{x_1}^{x_2} x^n eta(x) dx=0$,
si ha
$\int_{x_1}^{x_2} varphi(x) eta(x) dx =0$

Rilancio! Provare che il teorema vale considerando funzioni $\varphi, \eta \in L^1(x_1,x_2)$.

[Paolo902]

Ci provo, mal che vada imparo qualcosa.

Sia \( C_{pw}(a,b) \) lo spazio delle funzioni continue a tratti, munito del prodotto scalare
\[
\langle f,g \rangle := \int_a^b f(x)g(x)dx
\]
che è ben posto per la continuità (fuori da un insieme di misura nulla) di $f$ e $g$. Consideriamo il sottospazio
\[
X:=\text{span}(1,x,x^2, \ldots , x^n)
\]
cioè lo spazio delle funzioni polinomiali di grado al più $n$. $X$ è finito dimensionale, quindi è completo. Presa \( \phi \in C_{pw}(a,b) \) possiamo allora proiettare e considerare la proiezione ortogonale di $\phi$ su $X$: tale proiezione esiste ed è unica per noti fatti (cfr. Teorema della proiezioni ortogonali sui sottospazi convessi chiusi negli spazi di Hilbert: o meglio, sto usando un corollario di questo fatto, che garantisce esistenza e unicità delle proiezioni di elementi di un pre-hilbert su sottospazi lineari completi). Sia allora $\phi^{\star}$ la proiezione ortogonale, cioè l'elemento di $X$ tale che
\[
\min_{x \in X} \Vert \phi- x \Vert = \Vert \phi - \phi^{\star}\Vert.
\]

Sempre dalla teoria, è noto che l'elemento $\phi^{\star}$ si può caratterizzare in questo modo: \( \langle \phi-\phi^{\star}, x \rangle = 0 \) per ogni $x \in X$.

In particolare, prendendo $x=\phi^{\star}$ troviamo che \( \langle \phi, \phi^{\star}\rangle = \Vert \phi^{\star}\Vert^2\). (1)

D'altra parte, per ipotesi, per ogni $\eta$ che sta nell'ortogonale di $X$ vale \( \langle \phi, \eta \rangle = 0 \): in particolare, prendendo $\eta=\phi-\phi^{\star}$ trovo \( \langle \phi, \phi^{\star}\rangle = \Vert \phi \Vert^2\). (2)

Allora abbiamo finito: usando (1) e (2), ho che
\[
\Vert \phi-\phi^{\star} \Vert = \Vert \phi \Vert^2 - 2 \langle \phi, \phi^{\star} \rangle + \Vert \phi^{\star} \Vert^2 = 0
\]
cioè
\[
\phi = \phi^{\star} \in X
\]
e quindi $\phi$ è un polinomio di grado al più $n$. \(\square\)

Che dite? Bel problema, comunque: grazie Gaal!

[totissimus]

L'implicazione \( a \rightarrow b\) è evidente, proviamo che \( b \rightarrow a\).

Premetta: dati \( n \) numeri reali \( c_0, \cdots , c_n\) esiste uno ed un solo polinomio \( P_n(x)\) di grado \( n\) tale che:

\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}P_n(x)x^j dx=c_j\) per \(j=0, \cdots , n \).

Quindi esiste un unico polinomio \( P_n(x) \) di grado \(n\) tale che:

\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}P_n(x)x^j dx=\int_{x_1}^{x_2}\phi(x)x^j dx\) per \(j=0, \cdots , n \).

da cui segue immediatamente che:

1) \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} P_n(x)\left[ \phi(x)-P_n(x)\right]dx=0\)

Poniamo adesso \( \displaystyle \eta(x)=\phi(x)-P_n(x)\), risulta che:

\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x)x^jdx\) per \(j=0, \cdots , n \) e quindi deve essere pure:

\( \displaystyle \int_{x1}^{x_2}\eta(x) \phi(x)dx=0\) ossia:

2) \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \phi(x)\left[ \phi(x)-P_n(x)\right]dx=0\)

Addizionendo 1) e 2) otteniamo:

3) \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \phi(x)-P_n(x)\right]^2dx=0\)

Nel caso di funzioni continue a tratti la 3) dà immediatamente \( \displaystyle \phi(x)=P_n(x)\).

Nel caso di funzioni il \( L^1(x_1,x_2)\) abbiamo:

\( \displaystyle \left[ \phi(x)-P_n(x)\right]^2=0\) q-o. ossia:

\( \displaystyle \phi(x)=P_n(x)\) q.o.

[Gaal Dornick]

La mia soluzione era esattamente la soluzione di Totissimus. Del resto, l'ho pubblicato in Analisi: era una cosa fattibilissima da un qualunque studente intelligente dei primi anni.

Tutto sommato, in realtà, i conti sono gli stessi di Paolo, però spesso (sto imparando a mie spese in questo periodo) fare il conto aiuta, ti da informazioni in più, più precise.
In particolare, con i tuoi (Paolo) ragionamenti, la cosa è facilmente generalizzabile a funzioni $L^2$, ma non so se si può usare quanto da te detto per arrivare ad $L^1$. Nel conto esplicito, invece, è banale.

[Paolo902]

Gaal, perdonami, ma non ho capito come leggere la tua risposta: è un (bonario) rimprovero per aver inutilmente usato dei cannoni (e quindi un invito a sporcarsi sempre le mani prima di ragionare in astratto), oppure sostanzialmente l'idea è giusta e lo svolgimento va bene?
Grazie.

[Gaal Dornick]

In realtà è un rimprovero anche a me stesso: come hai fatto tu in questo esercizio, a me viene in mente sempre un approccio troppo astratto. Spesso però la cosa è semplice, e facilmente risolvibile.
In ogni caso, alla fin fine, l'idea delle due risposte è la stessa: semplificando la tua, ottieni la risposta di Totissimus.