[EX] Th. di Lagrange

[anto_zoolander]

Ciao!

Mentre cenavo ho pensato ad un esercizio che ho trovato carino e anche istruttivo; ve lo propongo.

è possibile trovare funzioni $f:RR->RR$ derivabili con continuità su tutto $RR$ e tali che $f’_(|QQ)equiv0$ ma che non siano costanti?

Ho una soluzione ma è prettamente topologica.

[gugo82]

Una funzione continua nulla su un denso è nulla ovunque, quindi…

[anto_zoolander]

è la stessa dimostrazione che ho usato io; infatti l’ho postato qui per vedere se qualcuno postasse altre soluzioni

[dissonance]

Togli l'ipotesi che la derivata sia continua e diventa un esercizio interessante.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function

Questo esempio, però, non va bene, perché è una funzione NON derivabile sui punti dell'insieme di Cantor. Tu invece richiedi che la funzione sia derivabile OVUNQUE.

Secondo me, la tua funzione deve essere costante, anche senza assumere a priori che la derivata sia continua.

[otta96]

"dissonance":Togli l'ipotesi che la derivata sia continua e diventa un esercizio interessante.

Sono d'accordo.

Secondo me, la tua funzione deve essere costante, anche senza assumere a priori che la derivata sia continua.

E invece no :-D, mentre se la derivata si annulla sugli irrazionali, allora sì (non è troppo difficile).

[dissonance]

Ma guarda un po' che roba. Adesso sono in vacanza, quando torno, FORSE, riuscirò a dare una occhiata più approfondita.