EX Teorico serie

[Noisemaker]

Posto un problema relativo alle serie ... spero sia giusto!


Sia $a_n>0$ una successione; provare che
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\,\, a_n \,\,\,\text{converge}\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{n=0}^\infty\,\, a_n(1+a^3_n) \,\,\,\text{ è convergente}
\end{align*}
Soluzione

Cominciamo con il dimostrare la prima implicazione

"$\Rightarrow$ "

Se la serie $ \sum_{n=0}^\infty a_n$ converge allora $ \lim_{n \to \infty}a_n=0,$ e quindi certamente avremo che definitivamente $a_n<1:$ allora
\begin{align*}
a_n(1+a^3_n) < a_n(1+1)=2a_n
\end{align*}
e poichè $a_n$ è il termine generale di una serie convergente, per confronto anche la serie di termine generale $ a_n(1+a^3_n)$ risulterà convergente;

"$\Leftarrow$"

la serie $ \sum_{n=0}^\infty a_n(1+a^3_n)$ converge ed essendo per ipotesi a termini positivi avremo che :
\begin{align*}
a_n < a_n +a^4_n= a_n(1+a^3_n)
\end{align*}
e poichè $ a_n(1+a^3_n)$ è il termine generale di una serie convergente, per confronto anche la serie di termine generale $ a_n $ risulterà convergente.

E dunque la posizione resta dimostrata.

[Rigel1]

ok.

[Noisemaker]

grazie!

[gugo82]

Esercizio: Provare che, in generale, l'implicazione \(\sum a_n(1+a_n^3)\text{ converge} \Rightarrow \sum a_n \text{ converge}\) non vale se la serie \(\sum a_n\) non è a termini positivi.

[theras]

@Gugo.
Subito m'era balzato all'occhio che un buon controesempio è la successione di termine generale $a_n=root(3)(1/(n^3)-1)$ $AAn inNN$,
la quale rende la serie dell'ipotesi (assolutamente) convergente per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata d'ordine 3(e negativamente divergente quella della tesi,e spero che qualcuno dica perchè..),
ma inizialmente m'aveva sorpreso
(e non solo per l'elementarità della sua legge di definizione..);
nel frattempo,ho spiegato a me stesso che era una sorpresa mal riposta:
non è un caso che quella serie soddisfi l'ipotesi ma non la tesi,avendosi $-1<=a_n<=0$ $AAn inNN$ e $EElim_(n to oo)a_n=-1$..
Saluti dal web.

[gugo82]

@ theras:

Molto più semplicemente \(a_n=-1\) per ogni \(n\).