[ex] sviluppi di Taylor
L'esercizio 6 di questo foglio (http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... r-test.pdf) lo avrei risolto con il teorema di l'Hopital:
a) Se fosse $f'(x) !=0$, potrei scrivere $ lim_(x -> 2)f(x)/(x-2)=lim_(x -> 2)(f'(x))/1= l \in R $, quindi $f(x)$ avrebbe ordine 1.
b) Analogamente, se fosse $f'(x) =0$ e $f''(x) !=0$ potrei scrivere
$ lim_(x -> 2)f(x)/(x-2)^2=lim_(x -> 2)(f'(x))/(2(x-2))= lim_(x -> 2)(f''(x))/2= \in R $, quindi $f(x)$ avrebbe ordine 2.
c) analogo
d) analogo
L'esercizio, però, è proposto tra quesiti sui polinomi di Taylor e io non li ho usati... voi come avreste ragionato?
p.s. Se qualcuno è in cerca di esercizi su Taylor, questi sono carini!
a) Se fosse $f'(x) !=0$, potrei scrivere $ lim_(x -> 2)f(x)/(x-2)=lim_(x -> 2)(f'(x))/1= l \in R $, quindi $f(x)$ avrebbe ordine 1.
b) Analogamente, se fosse $f'(x) =0$ e $f''(x) !=0$ potrei scrivere
$ lim_(x -> 2)f(x)/(x-2)^2=lim_(x -> 2)(f'(x))/(2(x-2))= lim_(x -> 2)(f''(x))/2= \in R $, quindi $f(x)$ avrebbe ordine 2.
c) analogo
d) analogo
L'esercizio, però, è proposto tra quesiti sui polinomi di Taylor e io non li ho usati... voi come avreste ragionato?
p.s. Se qualcuno è in cerca di esercizi su Taylor, questi sono carini!
Risposte
Io avrei usato Taylor, in effetti, perché la cosa mi pare più immediata. Per le ipotesi sulla funzione, possiamo scrivere
$$f(x)=a(x-2)^3+b(x-2)^4+o((x-2)^4)$$
poiché $f(2)=0$ (e quindi sparisce il primo termine) e dovendosi avere ordine di infinitesimo pari a $3$, il primo termine $(x-2)^k$ ad apparire deve essere proprio quello per $k=3$. Di conseguenza la risposta corretta è la c). (Tra l'altro, scusami, ma non capisco tu quale risposta forniresti come corretta.)
$$f(x)=a(x-2)^3+b(x-2)^4+o((x-2)^4)$$
poiché $f(2)=0$ (e quindi sparisce il primo termine) e dovendosi avere ordine di infinitesimo pari a $3$, il primo termine $(x-2)^k$ ad apparire deve essere proprio quello per $k=3$. Di conseguenza la risposta corretta è la c). (Tra l'altro, scusami, ma non capisco tu quale risposta forniresti come corretta.)
Molto meglio come hai fatto tu, ciampax, grazie 
Avrei comunque risposto C) (ehm, dopo aver dato una sbirciatina alla soluzione), perché se f'(x)=f''(x)=0 e f'''(x) diverso da 0 possiamo scrivere:
$ lim_(x -> 0)( f'(x))/(3(x-1)^2)=lim_(x -> 0)( f''(x))/(6(x-1))=lim_(x -> 0)( f'''(x))/6=l\in R $
Ora che ci penso, però, ho fatto un errore dimostrativo, nel "verso" dell'implicazione: mentre per dimostrare che le altre opzioni sono errate, è corretto far vedere che SE valgono quelle opzioni ottengo un conseguenza in contraddizione con le ipotesi, se voglio far vedere che l'opzione C) è vera, non mi basta mostrare che è compatibile con le ipotesi, ma che segue necessariamente dalle ipotesi. Io invece avevo solo verificato la compatibilità.
Avrei comunque risposto C) (ehm, dopo aver dato una sbirciatina alla soluzione), perché se f'(x)=f''(x)=0 e f'''(x) diverso da 0 possiamo scrivere:
$ lim_(x -> 0)( f'(x))/(3(x-1)^2)=lim_(x -> 0)( f''(x))/(6(x-1))=lim_(x -> 0)( f'''(x))/6=l\in R $
Ora che ci penso, però, ho fatto un errore dimostrativo, nel "verso" dell'implicazione: mentre per dimostrare che le altre opzioni sono errate, è corretto far vedere che SE valgono quelle opzioni ottengo un conseguenza in contraddizione con le ipotesi, se voglio far vedere che l'opzione C) è vera, non mi basta mostrare che è compatibile con le ipotesi, ma che segue necessariamente dalle ipotesi. Io invece avevo solo verificato la compatibilità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo