[Ex] Sulla Parte Frazionaria

[gugo82]

Problema:

Siano $x\in [0,1[$ e $b\in \mathbb{N}$ tale che $b\geq 2$ e scegliamo di denotare col simbolo \(\{\cdot \}\) la parte frazionaria[nota]Ricordo che la parte frazionaria di un numero reale $a\geq 0$ è definita ponendo:
\[
\{ a\} := a - \lfloor a \rfloor\; ,
\]
in cui:
\[
\lfloor a \rfloor := \max \{ k \in \mathbb{N} : k\leq a\}
\]
è la parte intera di $a$.[/nota].

Dire se è vero che risulta:
\[
\tag{P} \big\{ b\cdot \{b^n\cdot x\}\big\} = \{ b^{n+1}\cdot x\}
\]
per ogni \(n\in \mathbb{N}\).
In caso affermativo, dimostrare l'uguaglianza (P).

[theras]

C'entra niente il teorema del cambiamento di base,G?
Saluti dal web.

[gugo82]

"theras":C'entra niente il teorema del cambiamento di base,G?

Cambiamento di base di cosa?
Del sistema di numerazione, immagino...

In tal caso, sì: la questione mi è venuta fuori cercando di spiegare la rappresentazione in base $3$ e la struttura dell'insieme di Cantor.

[dan952]

Per induzione, supponiamo di aver dimostrato i casi $n=0$ e $n=1$. Supponiamo, inoltre, che valga per i primi $k$ interi positivi, dunque ${b{b^kx}}={b^{k+1}x}$, calcoliamo ${b^{k+2}x}$:
${b^{k+2}x}={b\cdot b^{k+1}x}={b({b{b^kx}}+[b^{k+1}x])}={b{b{b^kx}}+b[b^{k+1}x]}={b{b{b^kx}}}={b{b^{k+1}x}}$
L'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che $b[b^{k+1}x] \in NN$

[Gi81]

Sì, è vero. Infatti
\[
\{ b \cdot \{ b^n \cdot x \} \} = \{ b \cdot \left( b^n \cdot x - \lfloor b^n \cdot x \rfloor \right) =
\{ b^{n+1} \cdot x - b \cdot \lfloor b^n \cdot x \rfloor \}= \{ b^{n+1} \cdot x \}
\]
(l'ultimo passaggio segue dal fatto che \(\displaystyle b \cdot \lfloor b^n \cdot x \rfloor\) è intero)

[theras]

@G.
Beh,certo,lo dicevo in sintesi:
in termini più formali mi riferisco al teorema secondo il quale $forall"x"in RR,forall"b" in NN"-{0,1}" exists_"1""p" in ZZ,"{c"_"n""}"_{"n"in setN}sube"{0,1,..,b-1} t.c. c"_"1" ne "0" " e " "|x|" /("b"^"p")"="sum_"k=0"^(+oo) ("c"_"k") / ("b"^"k")$,
che direi possa esser usato in alternativa alla verifica di Dan.
Saluti dal web.