[Ex] Successioni e sottosuccessioni

[Noisemaker]

Qualcuno può aiutarmi a capire questo problema, ho provato a risolverlo ... ma Boh....

$\mbox{Sia}$ $a_n$ $\mbox{una successione di numeri reali tale che}$
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}a_n=1
\end{align*}
$\mbox{e sia}$ $b_n$ $\mbox{una successione limitata di numeri reali. Se}$ $m$ $\mbox{ è un numero intero positivo tale che}$
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}\left(b_n-a_nb_{n+m}\right)=l
\end{align*}
$\mbox{Dimostrare che}$ $l=0$

Soluzione

Poichè la successione $b_n$ è limitata sicuramente esistono finiti il $ \lim\max b_n$ e il $ \lim\min b_n$; siano
\begin{align*}
\lim\max b_n =B,\qquad\lim\min b_n=b
\end{align*}

Allora esiteranno per Bolzano-Weirstrass due sottosuccessioni estratte da $b_n$ che convergeranno una al $ \lim\max b_n$ ed una al $ \lim\min b_n$
Siano :
\begin{align*}
b_{h_{j}} ,\qquad b_{k_{j}}
\end{align*}
le due sottosuccessioni estratte da $b_n,$ e convergenti rispettivamente al $ \lim\max b_n$ e il $ \lim\min b_n:$
\begin{align*}
b_{h_{j}}\to B ,\qquad b_{k_{j}}\to b
\end{align*}
per ipotesi sappiamo che
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}\left(b_n-a_nb_{n+m}\right)=l
\end{align*}
e dunque :
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}\left( b_{h_{j}} -a_nb_{h_{j}+m}\right)=l,\qquad\lim_{n \to \infty}\left(b_{k_{j}}-a_nb_{k_{j}+m}\right)=l
\end{align*}
ed essendo:

\begin{align*}
b_{h_{j}}\to B,\quad b_{k_{j}}\to b,\quad a_n\to1
\end{align*}
abbiamo:
\begin{align*}
B -1\cdot b_{h_{j}+m} =l,\qquad b-1\cdot b_{k_{j}+m} =l
\end{align*}
da cui

\begin{align*}
b_{h_{j}+m} \to B-l,\qquad b_{k_{j}+m} \to b-l
\end{align*}
Ora, essendo $ B=\lim\max b_n$ avremo certamente che $ B\ge B-l$ e essendo $ b=\lim\min b_n$ avremo certamente che $ b\le B-l:$ queste due relazioni dicono che
\begin{align*}
l\ge0,\qquad l\le 0
\end{align*}
e dunque non può essere altro che $l=0$

[Noisemaker]

nessuno ha pazienza di darci una letta?

[theras]

Mi pare che ci sei;
io avrei utilizzato come spunto iniziale il fatto che nellae tue ipotesi certamente è infinitesima la successione di termine generale $(a_n-1)b_(n+m)$,
ma non ho sviluppato l'idea per benino e non son certo mi permetta di giungere a quella conclusione in modo più rapido e/o elementare:
provaci tu,se sei curioso e l'approccio ti piace,che appena posso ci ragiono e,nel caso,confrontiamo la bontà delle idee..ù
Saluti dal web.

[Noisemaker]

ti ringrazio...mò ci provo!

[Rigel1]

Il ragionamento è sostanzialmente corretto, anche se non puoi scrivere relazioni del tipo
\[
B - 1\cdot b_{h_j+m} = l
\]
(è chiaro il senso ma è sbagliata la forma).

Io avrei formalizzato in modo analogo ma leggermente differente. Osserviamo inizialmente che
\[
b_n - b_{n+m} = b_n - a_n b_{n+m} + (a_n-1) b_{n+m} \to l
\]
dal momento che \(a_n-1\to 0\) e \((b_{n+m})\) è limitata. Posto
\[
b := \liminf_n b_n = \liminf_n b_{n+m},\qquad
B := \limsup_n b_n = \limsup_n b_{n+m},
\]
e tenendo conto delle disuguaglianze
\[
\liminf_n (c_n+d_n) \geq \liminf_n c_n + \liminf_n d_n,
\qquad
\limsup_n (c_n+d_n) \leq \limsup_n c_n + \limsup_n d_n,
\]
hai che
\[
b = \liminf_n b_n = \liminf_n [(b_n - b_{n+m}) + b_n] \geq l + b,\qquad
B = \limsup_n b_n = \limsup_n [(b_n - b_{n+m}) + b_n] \leq l + B,
\]
da cui \(l = 0\).

[theras]

Vuoi perchè m'ha già scritto in passato che è in pieno spirito del Forum manifestare soluzioni diverse allo stesso problema
(in effetti approcci diversi,al lettore,fanno comodo nell'ottica d'un allargamento dell'angolo di visuale d'un argomento..),
vuoi perchè son curioso di vedere se soddisfa il tuo senso "estetico" e,ultimo ma non ultimo,
vuoi perchè ho avuto il lampo mentre gustavo un ottimo pranzo coi miei
(evento ormai bimestrale,se tutto và bene,ma forse dovrei aumentarne la frequenza,a giudicare dai risultati ..),
ti paleso il mio procedimento dimostrativo:
nel farlo,partendo da quello spunto che ad istinto avevo scelto,noto intanto che,nelle ipotesi fatte,
avremmo $EElim_(n to oo)[(b_n-a_nb_(n+m))+(a_n-1)b_(n+m)]=l+0=l rArr EElim_(n to oo)(b_n-b_(n+m))=l$(1).
Potranno allora presentarsi le seguenti evenienze:
a)${b_n}_(n inNN)$ è regolare.
In tal caso osserveremmo che,vista l'ipotesi di limitatezza della successione di termine generale $b_n$,
essa sarebbe addirittura convergente;
dettone allora $l'$ il limite,avremmo che $EElim_(n to oo)b_(n+m)=l'$
(per un noto risultato sulle estratte di una successione ottenute sopprimendone un numero finito di termini..):
pertanto $EElim_(n to oo)(b_n-b_(n+m))=l'-l'=0 rArr l=0$
(vista la (1) ed il teorema di unicità del limite,nella sua versione per le successioni numeriche..)!
b)${b_n}_(n inNN)$ è oscillante.
In questa eventualita,ammesso per assurdo che $l>0$,potremo dedurre dalla (1),
per il teorema della permanenza del segno sulle successioni numeriche,
che la successione di termine generale $b_n-b_(n+m)$ è definitivamente positiva;
ciò comporterebbe che siffatta successione è definitivamente crescente
(a te i dettagli di questa verifica ,non elementare,
della quale ho il dovere di dirti che forse m'ha convinto solo perchè l'ho fatta a mente tra una risata satolla ed una sfinge di S. Giuseppe ) ,
e dunque regolare in aperto contrasto con quanto ipotizzato nel caso in esame:
ad analoga contraddizione perveremmo qualora $l<0$,
e cio basta per affermare come pure in questa eventualità dovrà necessariamente essere $l=0$..
Saluti dal web.
P.S.
Leggo l'intervento di Rigel ora;
a questo punto direi che è il caso di postare ugualmente,
altrimenti contraddirrei quanto scritto all'inizio del post a proposito della "multiculturalità":
chiaramente,visto uno dei tre coinvolti,m'aspetto di tuttto,
e tengo la corda con rinforzi in titanio ben pronta e tesa per eventualità molto probabili ..
Edit:
@Toti.
Giusto tu,mancavi:
prendo pure lo sgabbello,vah..

[totissimus]

Oppure (\( a_n \neq 0\) definitivamente):

\( \displaystyle b_{n+m}-b_n=\frac{(1-a_n)b_n-(b_n-a_nb_{n+m})}{a_n}\)

Applicando i teoremi sui limiti otteniamo:

\( \displaystyle \lim( b_{n+m}-b_n)=\lim \frac{(1-a_n)b_n-(b_n-a_nb_{n+m})}{a_n}=l\)


\( \displaystyle b_n-a_nb_{n+m}=b_n-b_{n+m}+b_{n+m}(1-a_n)\)

da cui:

\( \displaystyle l=-l=0\)

[Noisemaker]

"Rigel":Il ragionamento è sostanzialmente corretto, anche se non puoi scrivere relazioni del tipo
\[
B - 1\cdot b_{h_j+m} = l
\]
(è chiaro il senso ma è sbagliata la forma).

Io avrei formalizzato in modo analogo ma leggermente differente. Osserviamo inizialmente che
\[
b_n - b_{n+m} = b_n - a_n b_{n+m} + (a_n-1) b_{n+m} \to l
\]
dal momento che \(a_n-1\to 0\) e \((b_{n+m})\) è limitata. Posto
\[
b := \liminf_n b_n = \liminf_n b_{n+m},\qquad
B := \limsup_n b_n = \limsup_n b_{n+m},
\]
e tenendo conto delle disuguaglianze
\[
\liminf_n (c_n+d_n) \geq \liminf_n c_n + \liminf_n d_n,
\qquad
\limsup_n (c_n+d_n) \leq \limsup_n c_n + \limsup_n d_n,
\]
hai che
\[
b = \liminf_n b_n = \liminf_n [(b_n - b_{n+m}) + b_n] \geq l + b,\qquad
B = \limsup_n b_n = \limsup_n [(b_n - b_{n+m}) + b_n] \leq l + B,
\]
da cui \(l = 0\).

Cavolo...questa è molto bella come soluzione, senza manco citare le sottosuccessioni!!! in realtà quello che pensavo non essere lecito era il passaggio successiovo a quello che hai citato : infatti io pensavo che qui si potesse sostituire il valore del limite
\begin{align*} B -1\cdot b_{h_{j}+m} =l,\qquad b-1\cdot b_{k_{j}+m} =l \end{align*}
ma che questo fosse troppo disinvolto come passaggio
\begin{align*} b_{h_{j}+m} \to B-l,\qquad b_{k_{j}+m} \to b-l \end{align*}

in ogni caso grazie!