[EX] - Successione definita per ricorrenza

[Plepp]

Rieccoci per la terza volta oggi

Mi trovo davanti a una successione definita per ricorrenza:
\[\begin{cases}
a_0:=\alpha>0\\
a_{n+1}:=e^{a_n}
\end{cases}
\]
Mi si chiede di calcolarne il limite. Di solito la mia prof., in casi come questo, osserverebbe che la successione è monotona crescente e illimitata superiormente; io farei così, datemi conferma

Evidentemente $a_n$ è strettamente crescente:
\[\forall n,\qquad a_{n+1}=e^{a_n}>a_n\]
dunque ammette limite, diciamo $L\in \bar{RR}$; segue che si ha sempre $a_n>0$, quindi $L\ge 0$. Ora, se per assurdo $L$ fosse un numero reale, si avrebbe
\[L=e^L\]
il che è impossibile, dal momento che $e^t=t$ non ha soluzioni. Concludo che $L=+\infty$, giusto?

[Rigel1]

Sì.
In alternativa puoi anche osservare che \(e^t > 1+t\) per ogni \(t>0\) e dimostrare per induzione che \(a_n > n\).

[Plepp]

Ottimo grazie Rig

[theras]

A me sarebbe saltato all'occhio pure che,introdotta la $f(t)=e^t-t:RR to RR$,si ha $a_(n+1)-a_n=f(a_n)$ $AA n in NN$;
ciò importa,essendo $f'(t)>0$ $AA t in (0,+oo),a_n in (0,+oo)$ $AA n in NN$
(quest'ultima si verifica comodamente per induzione),che la ${d_n=a_(n+1)-a_n}_(n in NN)$ è crescente:
pertanto,se la ${a_n}_(n in NN)$ convergesse ad $l in RR$,avremmo $"sup"_(n in NN)d_n=lim_(n to oo)d_n=l-l=0 rArr d_n le 0$ $AA n in NN$,
che è manifestamente in contrasto col fatto che $f(t)>f(0)=1$ $AA t in (0,+oo)$.
E' infine vero,per motivi del tutto analoghi,che $f(a_n)(>1)>0$ $AA n in NN rArr ... rArr {a_n}_(n in NN)$ è crescente:
per quanto appena verificato per assurdo essa dovrà allora divergere.
Saluti dal web.
P.S.Tutta stà tiritera solo per invitarti a notare che alle volte far saltar fuori la ${d_n}$ è utile;
non è questo il caso,ne convengo,ma ho voluto svolgere un ragionamento alternativo al tuo in un'evenienza soft:
magari ti torna utile per successioni più impegnative ..

[Plepp]

"theras":A me sarebbe saltato all'occhio pure che,introdotta la $f(t)=e^t-t:RR to RR$,si ha $a_(n+1)-a_n=f(a_n)$ $AA n in NN$;
ciò importa,essendo $f'(t)>0$ $AA t in (0,+oo),a_n in (0,+oo)$ $AA n in NN$
(quest'ultima si verifica comodamente per induzione),che la ${d_n=a_(n+1)-a_n}_(n in NN)$ è crescente:
pertanto,se la ${a_n}_(n in NN)$ convergesse ad $l in RR$,avremmo $"sup"_(n in NN)d_n=lim_(n to oo)d_n=l-l=0 rArr d_n le 0$ $AA n in NN$,
che è manifestamente in contrasto col fatto che $f(t)>f(0)=1$ $AA t in (0,+oo)$.
E' infine vero,per motivi del tutto analoghi,che $f(a_n)(>1)>0$ $AA n in NN rArr ... rArr {a_n}_(n in NN)$ è crescente:
per quanto appena verificato per assurdo essa dovrà allora divergere.
Saluti dal web.
P.S.Tutta stà tiritera solo per invitarti a notare che alle volte far saltar fuori la ${d_n}$ è utile;
non è questo il caso,ne convengo,ma ho voluto svolgere un ragionamento alternativo al tuo in un'evenienza soft:
magari ti torna utile per successioni più impegnative ..

Buongiorno Theras, scusa il ritardo. Originale/efficace anche questa strategia, grazie per i suggerimenti