[EX] Studio qualitativo EDO

[gugo82]

L'ho inventato di sana pianta, come appendice/variazione sul tema di un'esercitazione di Analisi I (su tutt'altro argomento)... Dovrebbe essere fattibile con un po' di sforzo, ma ancora non ho una soluzione completa scritta per bene.
Chiunque volesse cimentarsi è il benvenuto.

***

Esercizio (natalizio ):

1. Studiare le soluzioni del PdC:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
y^\prime (t) = \frac{1}{t + \exp y(t)}\\
y(0)=y_0
\end{cases}
\]
al variare di \(y_0\in \mathbb{R}\).

2. Mostrare che la soluzione massimale di (1) corrispondente al generico dato iniziale \(y_0\) si esprime mediante la formula:
\[
\tag{2}
y(t;0,y_0) = y_0 + W\left( e^{-y_0}\ t\right)\; ,
\]
in cui \(W(t)\) è la soluzione massimale del problema (1) corrispondente al dato iniziale nullo, i.e. \(W(t):= y(t;0,0)\).

3. Mostrare che la \(W(t)\) soddisfa l'equazione funzionale:
\[
\tag{3}
W(t)\ \exp W(t) = t
\]
per ogni \(t\) nel suo intervallo di definizione.

[Paolo902]

"gugo82":
1. Studiare le soluzioni del PdC:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
y^\prime (t) = \frac{1}{t + \exp y(t)}\\
y(0)=y_0
\end{cases}
\]
al variare di \(y_0\in \mathbb{R}\).

La funzione
\[
f(t,y) := \frac{1}{t + \exp y(t)}
\]
è di classe \(C^\infty\) nel dominio \(\Omega := \{(t,y) \in \mathbb R^2: t > 0\}\). In particolare, è continua e localmente lipschitziana nella seconda variabile uniformemente nella prima, quindi abbiamo esistenza e unicità locali per ogni $y_0 \in \RR$. Osservo poi che non vi sono soluzioni costanti (punti di equilibrio per il campo); inoltre, per risolvere il problema "in avanti" (ossia per $t>0$), noto che essendo la $f$ sempre positiva in $\Omega$ la soluzione è strettamente crescente nel suo intervallo massimale.

Infine, siccome banalmente si ha che \(f \le 1\) posso usare le stime a priori per dedurre che la soluzione è prolungabile a tutto \([0,+\infty)\).

"gugo82":2. Mostrare che la soluzione massimale di (1) corrispondente al generico dato iniziale \(y_0\) si esprime mediante la formula:
\[
\tag{2}
y(t;0,y_0) = y_0 + W\left( e^{-y_0}\ t\right)\; ,
\]
in cui \(W(t)\) è la soluzione massimale del problema (1) corrispondente al dato iniziale nullo, i.e. \(W(t):= y(t;0,0)\).

Si vede immediatamente che la condizione iniziale è soddisfatta, giacché $W(0)=0$. D'altra parte, derivando \( y(t;0,y_0)\) si ha
\[
y^{\prime}(t;0,y_0) = W^{\prime}(e^{-y_0}t)e^{-y_0} = \frac{1}{e^{-y_0}t + \exp W(e^{-y_0}t)} e^{-y_0} = \frac{1}{t + \exp (W(e^{-y_0}t) +y_0)} = \frac{1}{t + \exp (y(t))}
\]
da cui la tesi per unicità.

"gugo82":3. Mostrare che la \(W(t)\) soddisfa l'equazione funzionale:
\[
\tag{3}
W(t)\ \exp W(t) = t
\]
per ogni \(t\) nel suo intervallo di definizione.

Non sono ancora arrivato a una conclusione in merito a questo punto; siccome in $0$ quella relazione è certamente soddisfatta, ho provato a derivare per mostrare che la derivata di $We^W-1$ è identicamente nulla ma non mi vengono i conti. Ho provato anche ad integrare direttamente l'equazione differenziale, i.e.
\[
tW^{\prime} + W^{\prime}e^W = 1
\]
Si integra su $[0,s]$, il primo pezzo lo si fa per parti e il secondo è immediato: si deduce che
\[
sW(s) - W(s) + e^{W(s)} - 1 = s
\]
da cui smanettando in qualche modo magari se ne esce, ma ora sono un pelo di fretta e non vedo come... Se riesco torno a pensarci su più tardi. Ne approfitto per ringraziarti per l'esercizio e per farti gli auguri di buon Natale.

[gugo82]

@ Paolo90: Perché ti restringi a considerare \(t>0\)?
Ti perdi il bello della faccenda se non vedi cosa succede per \(t<0\).

Il punto 2 è giusto.
Per il punto 3, prova a considerare cosa succede alla funzione inversa \(V=W^{-1}\).

Auguri pure a te!

[gugo82]

Rilancio (per Santo Stefano):

4. Mostrare che:
\[
\begin{split}
\lim_{t\to +\infty} W(t) &= +\infty\\
\lim_{t\to +\infty} \frac{W(t)}{\ln t} &=1\; .
\end{split}
\]

5. Dopo aver studiato qualitativamente la soluzione massimale \(y(\cdot; 0,\varepsilon)\) del PdC:
\[
\tag{P}
\begin{cases}
y^\prime (t) = y^2(t)\ \left( 1 - y(t)\right) &\text{, per } t>0\\
y(0) = \varepsilon\; ,
\end{cases}
\]
in cui \(\varepsilon >0\) è un parametro "piccolo" (diciamo \(\varepsilon \in ]0,1[\)), usare \(W\) per scriverne esplicitamente la legge di assegnazione.
Cosa succede a \(y(\cdot ;0,\varepsilon) \) quando \(\varepsilon\) tende a \(0\)? In particolare, \(y(\cdot ;0,\varepsilon)\) tende (in qualche senso da specificare) alla soluzione stazionaria \(y_*(t) y(t;0,0):=0\)?

(Per chi fosse interessato al significato di (P), esso è un problema che appare come modello semplice di una reazione di combustione, in cui la funzione \(y(t)\) rappresenta la concentrazione di un reagente chimico ed il parametro \(\varepsilon >0\) una piccola perturbazione della concentrazione all'avvio della reazione).

[Paolo902]

Anzitutto, grazie della tua risposta.

"gugo82":@ Paolo90: Perché ti restringi a considerare \(t>0\)?
Ti perdi il bello della faccenda se non vedi cosa succede per \(t<0\).

Mmm, ma se $t<0$ mi sembra brutto
Esistenza e unicità locali continuano a sussistere finché \(y \ne \log{(-t)}\) ma non mi piace lavorare con domini sconnessi trattando di ODE (la connessione del dominio è parte della definizione di soluzione per come mi avevano raccontato la faccenda due anni fa). Quindi considero la parte di dominio che contiene il dato iniziale i.e.
\[
\Omega^{\prime} = \{(t,y) \in \mathbb R^2: y > \log{(-t)} \}
\]

Qui sopra continua a valere tutto quanto ho affermato sopra ma ho il dubbio relativamente alla prolungabilità: come funzionavano le stime a priori? Danno anche prolungabilità "all'indietro"? Non mi ricordo...
Ad occhio direi comunque che non si ha prolungabilità fino a \(-\infty\) per questo motivo: la soluzione continua ad essere in
\(\Omega^{\prime}\) strettamente crescente, quindi prima o poi (in tempo finito) deve andare a sbattere contro la frontiera di \(\Omega^{\prime}\) e perciò la soluzione cessa di esistere.

"gugo82":Per il punto 3, prova a considerare cosa succede alla funzione inversa \( V=W^{-1} \).

Che truccaccio! Bello
Usando la regola della derivazione della funzione inversa, si ricava che la funzione $V$ da te introdotta soddisfa l'equazione differenziale ordinaria
\[
V^{\prime}(x) = V(x)+e^x
\]
dove ho volutamente cambiato lettera alla variabile indipendente per evitare confusione. Ma questa è una semplicissima equazione del primo ordine lineare, il cui integrale generale è dato dalla famiglia $V_c(x) = xe^x+ce^x$. Imponendo la condizione iniziale $V(0)=0$ (che si ottiene perché $W(0)=0$) si ricava la soluzione
\[
V(x) = xe^x
\]
da cui la tesi ricordando la definizione di funzione inversa.

Più tardi, mi dedico al rilancio. Grazie ancora.

[gugo82]

@ Paolo90: Per 3, ok.
Il truccaccio è un po' old school, ma fa sempre la sua porca figura.

Per il punto 1, l'importante non è come sia fatto il dominio del secondo membro, perché i teoremi di esistenza ed unicità sono locali; quindi finché rimani dentro al dominio, tutto fila liscio come dovrebbe.

Nel caso in esame, l'insieme \(\Omega\) di definizione del secondo membro è:
\[
\Omega := \left\{ (t,u)\in \mathbb{R}^2:\ u\neq \ln (- t)\right\}
\]
cosicché è formato da due grandi componenti connesse aperte:
\[
\begin{split}
\Omega^- &:= \left\{ (t,u)\in \mathbb{R}^2:\ t<0 \text{ e } u< \ln (- t)\right\}\\
\Omega^+ &:= \Omega \setminus \Omega^-\\
&= \left\{ (t,u)\in \mathbb{R}^2:\ t\geq 0 \text{ oppure } t<0 \text{ e } u> \ln (- t) \right\}\; .
\end{split}
\]
Per fissare le idee, prendiamo \(y_0\in \Omega^+ \); in tal caso, la soluzione è definita in un intervallo del tipo \(]T_-,\infty[\) con \(T_-<0\).
Provo che \(T_->-\infty\), cioé che \(T_-\) è finito.
Per fare ciò, mostro dapprima che:
\[
T_-=\inf \{t\in \operatorname{Dom} y:\ y^\prime (t)>0\}\; .
\]
Chiaramente, \(T_-\leq T^\prime := \inf \{t\in \operatorname{Dom} y:\ y^\prime (t)>0\}\), quindi basta escludere che si verifichi \(T_-Per assurdo, suppongo che \(T_-< T^\prime\); conseguentemente in \(]T_-,T^\prime[\) esiste un \(t_0\) tale che \(y^\prime (t_0)\leq 0\); dato che, per la EDO, \(y^\prime (t_0)\neq 0\), devo trovare \(y^\prime (t_0)<0\), cioé \(t_0+\exp (y(t_0))<0\); d'altro canto, scelto un qualsiasi \(0\in ]T^\prime ,\infty[\), si ha \(y^\prime (0) = \frac{1}{\exp y_0}>0\), ossia \(0+\exp (y(0))>0\); per il teorema degli zeri, esiste almeno un punto \(\tau \in ]t_0,0[\) tale che \(\tau +\exp (y(\tau))=0\). Ma ciò è assurdo, perché il grafico di \(y\) giace interamente in \(\Omega\) e \((\tau ,y(\tau))\notin \Omega\).
Conseguentemente il grafico di \(y\) è tutto contenuto in \(\Omega^+\), i.e. soddisfa la limitazione \(\ln (-t) Derivando la EDO trovo:
\[
y^{\prime \prime} (t) = - \frac{1+y^\prime (t)\ \exp y(t)}{(t+\exp y(t))^3}
\]
e perciò \(y^{\prime \prime}(t)<0\) in \(]T_-,\infty[\), sicché \(y\) è concava. Quindi, per \(t\in ]T_-,0[\):
\[
\ln (-t)\leq y(t)\leq y_0 + y^\prime (0)\ t = y_0 +e^{-y_0}\ t
\]
e la retta d'equazione \(y=y_0 +e^{-y_0}\ t\) interseca la frontiera di \(\Omega\) in un punto \(\theta\) al finito; dunque \(T_-\geq \theta > -\infty\).

La faccenda credo vada più o meno avanti in modo simile per \(y_0\in \Omega^-\).

[gugo82]

"gugo82":4. Mostrare che:
\[ \begin{split} \lim_{t\to +\infty} W(t) &= +\infty\\ \lim_{t\to +\infty} \frac{W(t)}{\ln t} &=1\; . \end{split} \]

La prima uguaglianza è una banale conseguenza della (3) e della stretta monotonia di \(W\).
Infatti, vista la regolarità di \(W\) in \(+\infty\), per assurdo fosse \(\lim_{t\to +\infty} W(t) <\infty\), la \(W\) dovrebbe essere limitata dall'alto e perciò dovrebbe risultare \(W(t)\leq \omega\) per un \(\omega >0\); ciò, per la (3), importerebbe \(t\leq W^{-1}(\omega) = \omega e^{\omega}<\infty\) per ogni \(t\) in \(\operatorname{Dom} W\), contro il fatto che il dominio di \(W\) non è limitato superiormente. Pertanto \(\lim_{t\to +\infty} W(t) = +\infty\).

Per quel che riguarda la seconda, essendo soddisfatte le ipotesi del teorema di de l'Hopital, sfruttando la EDO e la relazione (3) si trova:
\[
\begin{split}
\lim_{t\to +\infty} \frac{W(t)}{\ln t} &\stackrel{\text{H}}{=} \lim_{t\to +\infty} t\ W^\prime (t)\\
&\stackrel{\text{EDO}}{=} \lim_{t\to +\infty} \frac{t}{t+\exp W(t)}\\
&\stackrel{\text{(3)}}{=} \lim_{t\to +\infty} \frac{t}{t+\frac{t}{W(t)}}\\
&= \lim_{t\to +\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{W(t)}}\\
&= 1\; .
\end{split}
\]

"gugo82":5. Dopo aver studiato qualitativamente la soluzione massimale \( y(\cdot; 0,\varepsilon) \) del PdC:
\[ \tag{P} \begin{cases} y^\prime (t) = y^2(t)\ \left( 1 - y(t)\right) &\text{, per } t>0\\ y(0) = \varepsilon\; , \end{cases} \]
in cui \( \varepsilon >0 \) è un parametro "piccolo" (diciamo \( \varepsilon \in ]0,1[ \)), usare \( W \) per scriverne esplicitamente la legge di assegnazione.
Cosa succede a \( y(\cdot ;0,\varepsilon) \) quando \( \varepsilon \) tende a \( 0 \)? In particolare, \( y(\cdot ;0,\varepsilon) \) tende (in qualche senso da specificare) alla soluzione stazionaria \( y_*(t) y(t;0,0):=0 \)?

(Per chi fosse interessato al significato di (P), esso è un problema che appare come modello semplice di una reazione di combustione, in cui la funzione \( y(t) \) rappresenta la concentrazione di un reagente chimico ed il parametro \( \varepsilon >0 \) una piccola perturbazione della concentrazione all'avvio della reazione).

i. Studio qualitativo delle soluzioni massimali della EDO.

La EDO in (P) ha al secondo membro la funzione:
\[
f(t,y):=y^2 (1-y)
\]
la quale è definita e di classe \(C^\infty\) in \(\mathbb{R}^2\). Conseguentemente, per ogni punto iniziale \((t_0,y_0)\in \mathbb{R}^2\) esiste un'unica soluzione massimale \(y(\cdot ;t_0,y_0)\) del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases} y^\prime (t) = y^2(t)\ \left( 1 - y(t)\right) \\ y(t_0) = y_0\; . \end{cases}
\]
Inoltre, dato che la EDO è autonoma, la soluzione \(y(\cdot ;t_0,y_0)\) si ottiene traslando opportunamente la soluzione \(y(\cdot ; 0,y_0)\): infatti, le due funzioni massimali:
\[
t\mapsto y(t;t_0,y_0) \qquad \text{e} \qquad t\mapsto y(t-t_0;0,y_0)
\]
soddisfano entrambe il PdC di punto iniziale \((t_0,y_0)\) e, per unicità, esse coincidono ovunque. Conseguente non si perde di generalità supponendo di scegliere sempre \(t_0=0\).

Dato che la EDO ammette le soluzioni stazionarie \(y_*(x):=0\) ed \(y^*(x):=1\), è evidente che \(y(\cdot ;0,0)=y_*(\cdot)\) ed \(y(\cdot ;0,1)=y^*(\cdot)\). D'altro canto, il grafico della generica soluzione massimale \(y(\cdot; 0,y_0)\) con \(y_0\neq 0,1\) non può intersecare i grafici di \(y_*\) ed \(y^*\); ne consegue che se \(y_0<0\) [risp. \(01\)] allora \(y(t;0,y_0)<0\) [risp. \(01\)] per ogni \(t\) nell'intervallo (massimale) di definizione.

Visto che:
\[
f(t,y) > 0\qquad \Leftrightarrow \quad y<1 \text{ ed } y\neq 0
\]
le soluzioni massimali della EDO sono strettamente crescenti [risp. strettamente decrescenti] fintantoché i loro grafici rimangono confinati in \(\Omega^+:=\mathbb{R}\times \big( ]-\infty ,0[\cup ]0,1[\big)\) [risp. \(\Omega^-:=\mathbb{R}\times ]1,\infty[\)].
[asvg]xmin=-3.5; xmax=3.5; ymin=-3.5; ymax=3.5;
axes("","");
marker="arrow"; line([-3,-1.9],[-2,-1.1]); line([-0.5,-1.9],[0.5,-1.1]); line([2,-1.9],[3,-1.1]); line([-3,0.1],[-2,0.9]); line([-0.5,0.1],[0.5,0.9]); line([2,0.1],[3,0.9]); line([-3,2.9],[-2,2.1]); line([-0.5,2.9],[0.5,2.1]); line([2,2.9],[3,2.1]);
marker="none"; stroke="red"; strokewidth=2; line([-6,0],[6,0]); line([-6,1],[6,1]);[/asvg]
Derivando la EDO si ottiene:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime} (x) &= 2y^\prime (t)\ y(t)\ (1-y(t)) - y^2(t)\ y^\prime (t)\\
& = - y^\prime (t)\ y(t)\ \big( 3y(t) -2\big)\\
&= - y^3(t)\ \big( 1-y(t)\big)\ \big( 3y(t) -2\big)\; ;
\end{split}
\]
pertanto i grafici delle soluzioni massimali sono strettamente convessi [risp. strettamente concavi] fintantoché essi rimangono confinati nella reagione \(\Omega_\cup := \mathbb{R}\times \big( ]0,2/3[\cup ]1,\infty[\big)\) [risp. \(\Omega_\cap := \mathbb{R}\times \big( ]-\infty ,0 [\cup ]2/3,1[\big)\)] e gli eventuali punti dei loro grafici che hanno ordinata pari a \(2/3\) sono punti di flesso.
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red"; line([-6,0],[6,0]); line([-6,1],[6,1]);
stroke="orange"; line([-6,0.666],[6,0.666]);
text([1.9,0.85],"concave"); text([-1.9,0.85],"concave"); text([1.9,-1.5],"concave"); text([-1.9,-1.5],"concave");
text([1.9,0.35],"convex"); text([-1.9,0.35],"convex"); text([1.9,2.25],"convex"); text([-1.9,2.25],"convex");[/asvg]
Chiamiamo \(]T_-,T^+[\) l'intervallo (massimale) di definizione di \(y(\cdot ;0,y_0)\); chiaramente \(]T_-,T^+[ =\mathbb{R}\) se \(y_0=0,1\); quindi supponiamo \(y_0\neq 0,1\).
In ogni caso, per monotonia, esistono entrambi i limiti:
\[
\lim_{t\to T_-} y(t;0,y_0)\qquad \text{ e } \lim_{t\to T^+} y(t;0,y_0)\; ,
\]
ed in tutti i casi il secondo limite esiste finito (infatti se \(y_0>1\), allora \(y(\cdot ;0,y_0)\) è decrescente e limitata dal basso, mentre se \(y_0<1\), allora \(y(\cdot ;0,y_0)\) è crescente e limitata dall'alto); dato che il punto \(\big( t,y(t;0,y_0)\big)\) deve tendere al bordo dell'insieme di definizione di \(f(t,y)\) al tendere di \(t\to T^+\) e dato che l'aperto di definizione del secondo membro è tutto il piano, la finitezza del limite implica necessariamente \(T^+=\infty\) in ogni caso possibile.
Per il teorema dell'asintoto e per monotonia, si ha allora:
\[
\lim_{t\to \infty} y(t;0,y_0) = \begin{cases} 0 &\text{, se } y_0<0 \\ 1 &\text{, se } y_0>0\; .\end{cases}
\]
Se \(0 \[
\lim_{t\to -\infty} y(t;0,y_0)=0\; ,
\]
e ciò implica l'esistenza di un (unico) flesso nel diagramma di \(y(\cdot;0,y_0)\) nel caso in esame.

Per \(y_0>1\) [risp. \(y_0<0\)], poniamo \(u(t;0,1/y_0):=1/y(t;0,y_0)\) per \(t\in ]T_-,\infty[\); la \(u\), chiaramente derivabile, soddisfa il PdC:
\[
\left\{ \begin{split} u^\prime (t) &= \frac{1}{u(t)} - 1 \\ u(0) &= \frac{1}{y_0}\end{split}\right.
\]
essendone la soluzione massimale; essa è limitata in \(]0,1[\) [risp. negativa] ed è strettamente crescente e strettamente concava [risp. strettamente decrescente e strettamente convessa] perché derivando la EDO si ottiene:
\[
u^{\prime \prime} (t) = -\frac{u^\prime (t)}{u^2(t)} = \frac{u(t)-1}{u^3(t)} <0 \qquad \text{[risp. } >0\text{]}\; ;
\]
conseguentemente, si ha \(T_->-\infty\) e:
\[
\lim_{t\to T_-} u(t;0,1/y_0) = 0^+ \qquad \text{[risp. } \lim_{t\to T_-} u(t;0,1/y_0) =0^-\text{]}\; .
\]
Da quanto detto si trae immediatamente che per \(y(t;0,y_0)\) si ha \(T_->-\infty\) sia per \(y_0>1\) sia per \(y_0<0\), nonché:
\[
\lim_{t\to T_-} y(t;0,y_0) = \begin{cases} \infty &\text{, se } y_0>1 \\ -\infty &\text{, se } y_0<0\end{cases}\; .
\]

ii. Calcolo della soluzione del PdC:
\[
\tag{P}
\left\{ \begin{split} y^\prime (t) &= y^2(t)\ \left( 1 - y(t)\right) \\ y(0) &= \varepsilon\; , \end{split} \right.
\]
con \(\varepsilon \in ]0,1[\).

Facendo la trasformazione di variabile (lecita!) \(u(t) = 1/y(t)\), il PdC (P) si muta in:
\[
\left\{ \begin{split} u^\prime (t) &= \frac{1-u(t)}{u(t)} \\ u(0) &= \frac{1}{\varepsilon}\end{split}\right.
\]
che si integra separando le variabili:
\[
\begin{split}
&\int_0^t \frac{u(\tau)\ u^\prime (\tau)}{1-u(\tau)}\ \text{d} \tau = \int_0^t \text{d}\tau \\
&\Rightarrow \quad \int_{1/\varepsilon}^{u(t)} \frac{\theta}{1-\theta}\ \text{d} \theta = t\\
&\Rightarrow \quad -\theta - \ln |1- \theta | \Big|_{1/\varepsilon}^{u(t)} = t\\
&\Rightarrow \quad \frac{1}{\varepsilon}+\ln \left( \frac{1}{\varepsilon} - 1\right) - u(t) - \ln \left( u(t)-1\right) =t\\
&\Rightarrow \quad u(t) + \ln \left( u(t)-1\right) = \frac{1}{\varepsilon}+\ln \left( \frac{1}{\varepsilon} - 1\right) -t\\
&\Rightarrow \quad \left( u(t)-1\right)\ e^{u(t)} = \left( \frac{1}{\varepsilon} - 1\right)\ e^{\frac{1}{\varepsilon}}\ e^{-t}\\
&\Rightarrow \quad \left( u(t)-1\right)\ e^{u(t) - 1} = \left( \frac{1}{\varepsilon} - 1\right)\ e^{\frac{1}{\varepsilon} - 1}\ e^{-t}\; ;
\end{split}
\]
di qui, ricordando che la \(W\) è la funzione inversa di \(xe^x\) per \(x>0\) e che \(u(t)-1>0\) ovunque, si trae:
\[
u(t)-1 = W\left( \left( \frac{1}{\varepsilon} - 1\right)\ e^{\frac{1}{\varepsilon} - 1}\ e^{-t} \right)\; .
\]
Ricordando infine la relazione che lega \(u\) ad \(y\), si ottiene la seguente rappresentazione esplicita della soluzione massimale di PdC (P):
\[
y(t;0,\varepsilon) = \frac{1}{1+W\left( \left( \frac{1}{\varepsilon} - 1\right)\ e^{\frac{1}{\varepsilon} - 1}\ e^{-t} \right)}\; .
\]

iii. Considerazioni finali.

Per quanto riguarda l'ultima questione, osserviamo che già dallo studio qualitativo discende che \(y(\cdot ;0,\varepsilon)\) si allontana da \(y_*\) per \(t\to \infty\), poiché si ha \(\lim_{t\to \infty} y(t;0,\varepsilon) =1\).
Conseguentemente, non si può avere né stabilità in senso classico per la soluzione nulla \(y_*\) né, ad esempio, stabilità nel senso della vicinanza in media integrale, poiché è evidente che, per ogni scelta di \(\varepsilon >0\), esiste un numero \(\Theta=\Theta (\varepsilon)>0\) tale che:
\[
y(t;0,\varepsilon) > \frac{1}{2}
\]
dunque si ha certamente:
\[
\| y(\cdot ;0,\varepsilon) - y_*\|_{p, [0,\infty[}^p = \int_0^\infty y^p(t;0,\varepsilon )\ \text{d} t \geq \int_{\Theta}^\infty \frac{1}{2^p}\ \text{d} t = \infty
\]
per \(0 \[
\| y(\cdot ;0,\varepsilon) - y_*\|_{\infty, [0,\infty[} =\sup_{t\geq 0} y(t;0,\varepsilon) =1\; .
\]

Se si guarda al PdC come modello della reazione di combustione detta nel testo dell'esercizio, il fatto che per ogni \(\varepsilon >0\) più piccolo di \(1\) si abbia \(\lim_{t\to \infty} y(t;0,\varepsilon) =1\) può essere interpretato come segue: dopo un lasso di tempo ragionevolmente grande, il reagente chimico la cui concentrazione durante la reazione è governata dalla EDO di (P) satura l'ambiente, anche se all'inizio della reazione esso è presente in concentrazioni molto molto basse.