[EX] Studio qualitativo EDO

[gugo82]

Un esercizio "da compito" sulle equazioni differenziali ordinarie... Se qualcuno vuole cimentarsi, prego.

Esercizio:

Studiare qualitativamente le soluzioni del PdC:
\[
\tag{1}
\begin{cases} y^\prime (t) = y^2(t)\ \sin \frac{t}{y(t)}\\
y(0) = y_0
\end{cases}\; ,
\]
al variare di \(y_0\) lì dove consentito dal problema.

[Paolo902]

Cominciamo studiando il caso $y_0>0$. In particolare, poniamo \(\Omega^{+} := \left\{(t,y) \in \mathbb R^2: y>0 \right\}\).

Sotto tale ipotesi, la funzione
\[
\begin{split}
f \colon &\Omega^{+} \to \mathbb R \\
& (t,y) \mapsto y^2\sin{\frac{t}{y}}
\end{split}
\]
è ben definita ed è $C^{\infty}$ in un intorno del punto $(0,y_0)$: in particolare è continua e localmente lipschitziana nella seconda variabile, uniformemente nella prima, quindi siamo nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità locali (Cauchy-Lipschitz) e pertanto abbiamo esistenza e unicità locali.

D'altra parte, è immediato verificare che si ha anche andamento sublineare sulle strisce, giacché se \( (t,y) \in [-a,a] \times \mathbb R^+ \) allora
\[
\vert f(t,y) \vert \le y^2 \frac{\vert t \vert}{\vert y \vert} \le ay
\]
e quindi si può applicare si ha esistenza e unicità in grande, cioè la soluzione massimale è prolungabile su tutto $\RR$.
Altre cose evidentissime non mi sembra si possano dire, a parte il fatto che $t=0$ è punto stazionario; se non ho sbagliato a derivare, si riesce a dire che lo sviluppo di Taylor in un intorno dell'origine al secondo ordine è qualcosa del tipo
\[
p_2(t)= y_0 + \frac{y_0}{2}t^2 + o(t^2)
\]
In particolare, la funzione è convessa in $0$.

Per quanto riguarda la situazione in \(\Omega^{-} := \left\{(t,y) \in \mathbb R^2: y<0 \right\}\) direi che con un trucchetto ci si riconduce alla situazione sopra: posto $w(t):=-y(-t)$, usando la regola di derivazione delle funzioni composte si ricava che $w$ soddisfa la medesima equazione differenziale con condizione iniziale $w(0)=-y_0>0$ e quindi valgono analoghe considerazioni a sopra.

Ora sarebbe bello capire che cosa succede se si prende $y_0=0$. La funzione $f$ definita sopra ammette estensione continua, nel senso che ponendo $f(t,0)=0$ per ogni $t$ si ottiene una funzione continua su tutto $\RR^2$. Questo mi consente di dire che $y \equiv 0$ è soluzione nel caso $y_0=0$. Sarà anche l'unica? Dovrei vedere se su ogni intorno $U$ di $(0,0)$, la funzione $f$ è Lipschitz su $U$...
Grazie