[EX] Serie di potenze

[gugo82]

Esercizio:

Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze \(\sum_{n\geq 1} a_n\ x^n\), ove:
\[
a_n:=\int_0^n \exp \left( \frac{t^2}{n}\right)\ \text{d}t\; .
\]

[Paolo902]

La mia congettura è che il raggio sia $R=1/e$.

Sia $a_n := \int_0^n e^(t^2/n)dt$. Voglio usare la formula di Cauchy-Hadamard per ricavarmi il (o meglio, l'inverso del) raggio di convergenza. Quindi devo calcolare $lim_{n \to infty} |a_n|^{1/n}$.

Ora, una semplice sostituzione ($t=nw$) mi permette di scrivere la successione degli $a_n$ come
\[
a_n = n \int_0^1 e^{nw^2}dw
\]

Da qui, si ha che

\[
|a_n|^{1/n} = \sqrt[n]{n} \left( \int_0^1 e^{nw^2}dw \right)^{1/n}
\]

Il modulo si può tranquillamente omettere perchè la funzione integranda è positiva su $[0,1]$. Ebbene, il primo pezzo non dà problemi, è risaputo che va a 1 quando $n\to +\infty$. Il problema è l'altro fattore, cioè capire che cosa fa
\[
\lim_{n \to +\infty} \left( \int_0^1 e^{nw^2}dw \right)^{1/n}
\]

Adesso, io qui dentro vedo una norma, o meglio vedo il limite della norma $p$, per $p \to \infty$ (la norma è quella che mettiamo di solito sugli spazi $L^p$ per renderli di Banach, per intenderci).
Quindi direi che quel limite è la norma infinito della funzione continua $g(w)=e^{w^2} \in L^{\infty}[0,1]$ che è $max_{w \in [0,1]} g(w) = g(1) = e$.

Quindi, $1/R=1*e=e$ e in definitiva il raggio è $1/e$.

Mi sono un po' buttato, non è mia abitudine ma ho deciso di correre il rischio... Sono sicuro della prima parte, un po' meno della seconda. Mi scuso anticipatamente in caso di errori

[gugo82]

Bella!
Non ci avevo pensato ad usare la continuità della norma \(L^p\)...
[Però c'è un erroraccio di calcolo: chi è \(\max_{[0,1]} e^{w^2}\)??? ]

Avevo risolto come segue:

Sostituendo:
\[
a_n:= \int_0^n e^{t^2/n}\ \text{d} t \stackrel{\tau=t^2/n}{=} \sqrt{n}\ \int_0^n \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d}\tau\; ;
\]
quindi:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \sqrt{\frac{n+1}{n}}\ \frac{\int_0^{n+1} \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d}\tau }{\int_0^n \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d} \tau}\; ,
\]
e chiaramente l'esistenza del \(\lim_n a_{n+1}/a_n\) dipende dall'esistenza del:
\[
\lim_{x\to \infty} \frac{\int_0^{x+1} \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d}\tau }{\int_0^x \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d} \tau}\; .
\]
Quest'ultimo limite si presenta in forma indeterminata \(\infty/\infty\); ma applicando il teorema di de l'Hôpital si trova:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \infty} \frac{\int_0^{x+1} \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d}\tau }{\int_0^x \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d} \tau} &\stackrel{H}{=} \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{e^{x+1}}{\sqrt{x+1}}}{\frac{e^x}{\sqrt{x}}}\\
&= \lim_{x\to \infty} e\ \sqrt{\frac{x}{x+1}}\\
&= e\; ,
\end{split}
\]
cosicché \(1/R=\lim_n a_{n+1}/a_n =e\) ed \(R=1/e\).

[Paolo902]

"gugo82":Bella!
Non ci avevo pensato ad usare la continuità della norma \(L^p\)...

Sono davvero contento che ti sia piaciuto, Gugo.

"gugo82":
[Però c'è un erroraccio di calcolo: chi è \(\max_{[0,1]} e^{w^2}\)??? ]

Che scemo che sono! Sorry, nella mia testa leggevo $e^{-x^2}$, e quindi dicevo il massimo è in $0$ e vale 1.
Ora edito, perchè è davvero un erroraccio

Una domanda di teoria: ho usato il fatto che [tex]\lim_{p\to \infty} \Vert f \Vert_p = \Vert f \Vert_{\infty}[/tex].
Questo quando vale? Che ipotesi devo aggiungere? Secondo me serve che lo spazio abbia misura finita (e qui va tutto bene, siamo sul compatto $[0,1]$), solo che (lo confesso sinceramente) non ne ricordo la dimostrazione...

P.S. Molto bella e pulita la tua risoluzione: mi pare ci sia un errorino alla fine, una svista. Se usi il rapporto, il raggio non è $R= \lim_{n \to +\infty} a_{n}/a_{n+1}$?

[gugo82]

"Paolo90":[quote="gugo82"]
[Però c'è un erroraccio di calcolo: chi è \(\max_{[0,1]} e^{w^2}\)??? ]

Che scemo che sono! Sorry, nella mia testa leggevo $e^{-x^2}$, e quindi dicevo il massimo è in $0$ e vale 1.
Ora edito, perchè è davvero un erroraccio [...]

P.S. Molto bella e pulita la tua risoluzione: mi pare ci sia un errorino alla fine, una svista. Se usi il rapporto, il raggio non è $R= \lim_{n \to +\infty} a_{n}/a_{n+1}$?[/quote]
Come vedi non sei l'unico a farne...

"Paolo90":Una domanda di teoria: ho usato il fatto che [tex]\lim_{p\to \infty} \Vert f \Vert_p = \Vert f \Vert_{\infty}[/tex].
Questo quando vale? Che ipotesi devo aggiungere? Secondo me serve che lo spazio abbia misura finita (e qui va tutto bene, siamo sul compatto $[0,1]$), solo che (lo confesso sinceramente) non ne ricordo la dimostrazione...

Vedi qui.

[Paolo902]

Molto bene, ti ringrazio per l'ottima referenza e per il bell'esercizio.
Grazie mille.

[Lorin1]

Anche io facendo un pò di calcoli avevo pensato al fatto che il raggio potesse essere $1/e$, ma non essendo sicuro del ragionamento che avevo fatto ho preferito non postare. In tutti i modi il dubbio me lo voglio togliere lo stesso...

Applicando il criterio di Cauchy-Hadamard si arriva a studiare $lim_(n->+oo)root(n)(a_n)$, il mio dubbio era: posso eventualmente studiare $root(n)(lim_(n->+oo)a_n)$? e per quanto riguarda il $lim_(n->+oo)(a_n)$ eventualmente applicare il teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale, considerando l'intervallo $[0,1]$ come nel ragionamento di Paolo?

Non so se ho fatto bene a nascondere il contenuto, nel caso lo rendo visibile a tutti...
Thanx

[gugo82]

No, Lorin.
Non ha proprio senso scrivere \(\lim_n \sqrt[n]{a_n} =\sqrt[n]{\lim_n a_n}\) (perché \(n\) è la variabile di limite).

[Lorin1]

Eh ma infatti ne ero convinto anche io...in un attimo di confusione ero indeciso...ho fatto meglio a non postare allora